Un po' di geometria dell' S 3 di cubiche gobbe 



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strerò che esiste una sola cubica di V passante pei; B e tale che in essa sia (PxP 2 P s B)=\i, 

 essendo |a un ninnerò dato ad arbitrio non eguale a K (n. 6). 



E infatti indicato con T il complesso tetraedrale individuato dal tetraedro singolare 

 PiP 2 P s B e dal birapporto [i, osservo che fissato un punto generico O dell'ambiente, il 

 cono quadricò di T (ti. 6) e quello di T aventi O per vertice si secano , oltre che nelle 

 rette OPi , OP>, OPi, in una retta r. La cubica ti passante per Pi, Pz, P3, Pi, B, e avente 

 per corda, è una cubica di T nella quale effettivamente è ( Pi P> P% B ) = \>. 



Se poi un' altra cubica k di V sodisfacesse a questa stessa condizione, la sua corda 

 passante per O, appartenendo a' T e a T , coinciderebbe con la retta ; ne seguirebbe 

 k" = k'. Concludiamo dunque ( n ) che esiste una soia cubica di T la quale passi peri? e 

 in essa sia ( Pi Pi P$ B ) — [x. 



15. Data una cubica ti di V, sia B quel suo punto tale che in essa si abbia 

 PiP>PiB = \>.\ a ti corrisponde in tal modo un solo punto B dello spazio ambiente. Vi- 

 ceversa dato il punto B, esiste (n. 14) in T la sola cubica ti passante per B e tale che 

 in essa sia (PiP>P$B) ~ \x. La corrispondenza algebrica Q così stabilita fra le cubiche di 

 T' e i punti dell' ambiente è dunque biunivoca, onde si può concludere che 



è razionale il complesso V delle cubiche gobbe passanti per quattro punti dati e 

 tali che questi abbiano in ognuna di esse un birapporto costante dato. 



16. Siano À'i e k% due cubiche di T . Proiettando ki da un suo punto generico M, 

 si ottiene un cono quadrico a cui appartiene ( n. 6 ) la corda di ki passante per M. Ne 

 segue che k\ e k> avendo in comune una corda e quattro punti, avranno in comune x 1 

 corde generatrici di una quadrica / ; le ki e li» individuano, su questa quadrica, un fascio 

 (p di cubiche appartenenti tutte a V. 



17. Siano g e d rispettivamente una generatrice e una direttrice di / (n. 16), non pas- 

 santi per alcuno dei punti Pi, P2, Pò, Pi- 



Se Bi è il punto in cui la cubica k,, del fascio qp (n. 16), è incontrata da d, il bi- 

 rapporto dei punti Pi , Pj,, Pi , B, , considerati in k t , è eguale al birapporto g (P l P 2 P.d) 

 ottenuto proiettando da g ì punti P!,P 2 ,P 3 e la retta d. Ne segue senz'altro che in virtù 

 della corrispondenza Q (n. 15) alle cubiche del fascio cp corrispondono i punti di una retta 

 /, dell'ambiente, retta che è una determinata direttrice della quadrica /, e precisamente 

 quella direttrice f per la quale sia g ( P x P 2 P s f) = |i . 



Viceversa: sia data una retta generica f dell' ambiente , e siano B l e B 2 due suoi 

 punti. Indicate con h\ e k, le loro cubiche corrispondenti in virtù di Sì -1 , queste (n. 16) 

 individuano un fascio cp su una quadrica /, e, per quanto abbiamo detto, alle cubiche di 

 <p la Q fa corrispondere i punti della direttrice, di "/ , passante per B Y , direttrice che co- 

 incide con la retta / perchè con questa ha già in comune i due punti B x e B 2 ( 12 ). 



( u ) Il teorema del testo si può dimostrare, più rapidamente, osservando che nel cono quadrico (B), di 

 T, esiste una sola generatrice che insieme con BP lt BP 2 , BP 3 costituisca un gruppo dal birapporto |'. ; e 

 osservando, inoltre, che del fascio (n. 6) di cubiche di V poste in (B), una sola tocca la detta generatrice 

 nel punto B. 



( 12 ) Si noti, in particolare, che ai fasci, di cubiche di T', esistenti nei coni quadrici di T (n. 6) . corri- 

 spondono le rette di un complesso. 



