Un po' di geometria dell' S 3 di cubiche gobbe 



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una cubica (e quindi d' infinite cubiche) di C, essa è corda di ciascuna delle n cubiche k 

 passanti per uno qualunque dei suoi punti. 



22. Sia (M) il cono quadrico, di vertice M\ secondo cui sono proiettate (n. 20) le n 

 cubiche di C passanti per M. E facile comprendere (n. 21) che 



su ogni generatrice del cono quadrico (M), le cubiche di C individuano, coi loro 

 punti di appoggio, una corrispondenza (n,n) involutoria. 



Si noti che al punto M corrispondono ^li n punti in cui alla detta generatrice ulte- 

 riormente si appoggiano le u cubiche di C passanti per M. 



23. Sia k l una generica delle cubiche di C; esiste (n. 20) una certa generatrice del 

 cono quadrico (M) la quale è corda di k v Ne segue che questa cubica incontra ulterior- 

 mente [M) in quattro punti P,,P 2 , P 3 , P 4 , due qualunque dei quali non sono collineari 

 con M. 



Ciascuno, p. es. P u di questi quattro punti è almeno singolare (n. I), perchè altri- 

 menti si avrebbe l'assurdo che per esso passerebbero già n--\- 1 cubiche di C, e preci- 

 samente : la k x e (n. 22) le n cubiche k passanti per P l e aventi la retta MP X per corda ( 15 ). 

 I punti P u P 2 ,P 3 , Pfi al variare di k l in C, devono essere fissi, perchè altrimenti essi do- 

 vrebbero generare, su (M), una curva gobba singolare (n. ì), curva che sarebbe proiettata 

 secondo un cono quadrico da ogni punto dell'ambiente, ciò che è assurdo. Per i punti 

 P u P 2 , P 3 , P 4 , quindi passano tutte le cubiche di 0, cioè si può concludere (n. I) che 

 se è zero la classe di una congruenza di cubiche gobbe, questa ammette quattro 

 punti fondamentali ( 16 ). 



24. Dai n. 1 23 e 22 si deduce che 



ogni congruenza d'ordine n di cubiche gobbe, che sia di classe zero, può essere 

 generata nel seguente modo- 



Si fissino un cono quadrico (M), quattro punti P u P 2 , P 3 , Pi non complanari di questo 

 (due qualunque non collineari con M), ed n cubiche gobbe passanti per questi punti e 

 giacenti in (M). Si stabilisca inoltre un tale procedimento geometrico in virtù del quale 

 su ogni generatrice di (M) rimanga determinata una corrispondenza involutoria (n, n), nella 

 quale siano omologhi M e gli ;/ punti nei quali la detta generatrice è ulteriormente in- 

 contrata dalle n cubiche gobbe sopradette. Inoltre sulla generatrice MP t (i '= 1 ', 2, 3, 4) al 

 punto Pi corrispondano tutti i punti di questa. Ebbene : le cubiche gobbe ognuna delle 

 quali passa per P u P 2 , P 3 , Pi, e per due qualunque punti coniugati in una delle sopradette 

 corrispondenze involutone (n, n), generano la richiesta congruenza C d'ordine n e classe 

 zero. 



Che la congruenza così costruita sia d'ordine n è evidente ( 17 ) ; che poi essa sia di 



( 15 ) Che P t sia almeno singolare, segue pure dal n. 21. 



( 16 ) Per n — i questo teorema era noto; cfr. Veneroni, 1. c. in ('), n 3. 



C 7 ) Per un punto generico di (M) non passa alcuna cubica degenere di C; quindi se per M passassero 

 « + / cubiche di C, una di queste coinciderebbe con una delle n cubiche fissate in {M) : assurdo. 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XIII — Meni. VII. 2 



