Un po' di geometria dell' S 3 di ('.libiche gobbe 



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29. Dai n.' 20 e 23 segue che le corde delle cubiche di C generano un complesso 

 quadratico dotato di quattro stelle, cioè ( 19 ) 



le corde delle cubiche gobbe di una congruenza di classe zero , costituiscono un 

 complesso tetraedrale. 



11 tetraedro singolare è quello avente per vertici i punti fondamentali (n. 23) della 

 congruenza. 



30. Dal n. precedente si deduce senz' altro che 



data una congruenza di cubiche gobbe che sia di classe sero, i suoi quattro punti 

 fondamentali hanno su ogni cubica, della congruenza, un birapporto costante al 

 variare della cubica. 



31. La congruenza C appartiene dunque (n. 30) ad un complesso del tipo di V (n. 6). 

 Viceversa dato un complesso siffatto, ogni sua congruenza è, evidentemente, di classe zero. 



P. es : fissato un sistema oo 1 d' indice u nella rete di coni quadrici passanti per le 

 rette P\Pi, PiP 3 , PiP 4 , le cubiche del complesso F esistenti (n. 8) nei coni del detto si- 

 stema, generano una congruenza d' ordine n e classe zero. 



32. Supponiamo che la congruenza C sia dotata di una curva singolare (n. 1) irri- 

 ducibile 5, onde 6" è generata dalle cubiche incidenti 5 e appartenenti (n. 31) ad un certo 

 complesso T ( 20 ). 



Nel cono quadrico (M) giacciono (n. 20) le n cubiche di (J passanti per M, e quindi 

 in (M) esistono della curva 5 almeno ;/ punti ognuno non coincidente con alcuno dei 

 quattro punti fondamentali. Nè può esservi un altro siffatto punto Q di 5 , perchè altri- 

 menti la cubica passante per P { , P>, P^, P é , Q, M, apparterrebbe al cono (.1/), e quindi 

 sarebbe una cubica di V , anzi, perchè incidente 5 in Q, essa sarebbe addirittura una cu- 

 bica di C, ciò che è assurdo perchè per il/ passerebbero n -f / cubiche di questa con- 

 gruenza. 



Possiamo dunque affermare che 

 se una congruenza , di cubiche gobbe, di classe zero e d' ordine u, possiede una 

 curva singolare , questa è secata in n punti variabili dai coni quadrici del com- 

 plesso tetraedrale generato dalle corde delle cubiche della congruenza. 



33. Viceversa sia T un complesso tetraedrale, ed s una curva incontrata in // punti 

 variabili dai coni quadrici di T. Se M è un punto generico dell' ambiente, ed (M) il cono 



C 9 ) A questo risultato si perviene, direttamente, osservando che ogni cubica della congruenza ha come 

 corda una generatrice del cono quadrico (M). 



( 20 ) Si osservi che le cubiche di un complesso V incidenti s, generano una congruenza irriducibile. In- 

 fatti supponiamo che questa, chiamiamola C, si spezzi in C' e C" . Le cubiche di C passanti per uno stesso 

 punto N di 5, non possono appartenere tutte, p. es., a C' . perchè la curva .s è irriducibile. Esaminiamo 

 dunque l'ipotesi che le °° 1 cubiche di Spassanti per A T , costituiscano due sistemi algebrici distinti, uno ap- 

 partenente a C' e l'altro a C" . Allora se r è una retta del complesso tetraedrale T (n. ó), siccome le cu- 

 biche passanti per P P 2 , P s , P,„ N generano una congruenza Q di classe uno, cosi l'unica cubica di C L 

 avente r per corda apparterrà a C; supponiamo a C' . Ne seguirebbe che le rette di T costituirebbero due 

 complessi distinti secondo che l'unica cubica di C { avente una di esse rette per corda, appartenga a C' ovvero 

 a C" : assurdo, 



