Un po' di geometria dell' S 3 di cubiche gobbe 



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di esse rimanga individuata una rete di cubiche gobbe, queste generano un complesso di 

 ordine 11 = 2. 



37. Per costruire un complesso F del tipo esaminate; nel n. precedente , si fissi un 

 fascio — di quadriche tutte passanti per una certa retta f, e poi un procedimento geome- 

 trico tale che per ogni quadrica y di II rimanga individuata una rete di quadriche tutte 

 passanti per f ma nessuna coincidente con X> Questa sarà secata dalle quadriche ora dette, 

 in una rete di cubiche le quali , al variare di y in S , generano il chiesto complesso V ( 2:i ) 



Con la costruzione ora detta, la retta f risulterà corda fondamentale (n. I) per T; 

 e la cubica cp , che con f costituisce la base di S , apparterrà o no a questo complesso, 

 secondo che esiste o no qualcuna delle sopradette reti , di quadriche , la quale contenga 

 una quadrica di S. 



Se, invece, si vuole che f non risii iti, per T, una curda fondamentale, oltre che pro- 

 cedere in modo assai poco diverso da quello esposto, si può procedere come segue. 



Si faccia in modo che data una quadrica y di il, rimanga individuata, sulla cubica 

 <p, una g\. Tutte le cubiche di y non aventi f per corda, e ognuna secante cp nei cinque 

 punti di un gruppo di questa g\, generano una rete in y, e, quindi , al varial e di questa 

 quadrica in il chiesto complesso V ( 24 ). 



Ciò posto, siccome è facile dimostrare che qualunque complesso d' ordine n = 2 e 

 tale che il relativo sistema ^ sia un fascio, si può effettivamente ottenere con una (deter- 

 minata) delle costruzioni sopra esposte, così si può concludere che 



sappiamo costruire qualunque complesso, di cubiche gobbe , d' ordine n = 2 e il 

 di cui sistema ^ sia un fascio. 



38. Si fìssi , in uno spazio ordinario S' 3> un fascio di piani — ' e quattro piani gene- 

 lici a\ (h = l, 2, 3, 4); nell'ambiente S 3 del dato complesso V (n. 36) si fissino quat- 

 tro rette generiche a h ; infine si stabilisca un' omografìa tra gli elementi di 2 e quelli 



di r. 



Ed ora se y e y' sono due elementi , di questi fasci, omologhi in questa omografia, 

 rimane individuata una corrispondenza omografica iu tra le cubiche di V esistenti in y e 

 le rette di y', assumendo come omologhe la retta y'a' h e la cubica, della rete che V ha 

 in y, passante per i due punti ya n . Ne segue , di conseguenza, una corrispondenza alge- 

 brica (4 — /. I) fra i punti di S 3 e i punti di chiamando omologhi i 4 — / punti base 

 variabili di un fascio che T ha in y , e il centro del fascio di rette , del piano */_ , corri- 

 spondente in virtù di co al detto fascio di cubiche. 



Si osservi dunque che in tal modo F vien trasformato nel complesso lineare speciale 



( 23 ) In particolare, anzi che una semplice infinità (razionale) di reti, si può scegliere una sola rete, e 

 questa, in particolare ancora, può avere tre punti base nella cubica che insieme con la retta / costituisce la 

 base del fascio 2. In altri termini : si assegnino, oltre e fuori di /, tre punti della base di S ; in ciascuna 

 quadrica di questo fascio costituiscono una rete le cubiche passanti per questi tre punti e aventi / per corda. 



( 2/l ) Anche qui invece di una semplice infinità (razionale) di , si può fissare una stessa g? per tutte le 

 quadriche del fascio 2. — Si osservi, inoltre, che nella prima ipotesi considerata nel testo, e precisamente 

 quando si vuole che per T la retta / risulti corda fondamentale, e che la cubica <? appartenga al complesso, 

 si può procedere in modo analogo, assegnando su <? una g\ per ogni quadrica di 2. 



