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Giuseppe Marletta 



[Memoria VII.] 



T' generato dalle rette, di S' 3 , incidenti l'asse del fascio 2', risultandone una corrispon- 

 denza algebrica biunivoca fra le cubiche di T e le rette di V 



39. Esaminiamo ora 1' ipotesi che le quadriche del sistema -2 siano oc 2 . 



a) In ognuna di esse esistano oo 1 cubiche di T; queste costituiranno un fascio. 

 Se, infatti, fosse altrimenti, per un -generico punto M della (n. 35) quadrica (P), passe- 

 rebbero più cubiche di T poste in (P) , onde sarebbe (M) = {P), cioè tutte le oc 1 cubiche 

 di r passanti pei- M giacerebbero in (P) , ciò che è assurdo perchè richiederebbe che in 

 questa quadrica le cubiche del complesso fossero oo' 2 . E vero dunque che su ogni qua- 

 drica di £, nell'ipotesi in esame, le cubiche di T costituirebbero un fascio. Questo avrebbe 

 / <T 4 punti base variabili, punti che dunque sarebbero oo 2 , ciò che è assurdo perchè se 

 P è un punto generico dell'ambiente, il fascio di cubiche che il complesso ha nella qua- 

 drica (P), ammette P fra i suoi punti base. 



b) In ciascuna delle quadriche di 12 esistano oo 2 cubiche di T. Anche questa ipo- 

 tesi si esclude, perchè per il punto generico P passerebbero oo 1 quadriche di 2, in ognu- 

 na delle quali esisterebbero oo 1 cubiche di T tutte passanti per P : assurdo. 



6") Dalle considerazioni fatte concludiamo che le quadriche del sistema £ non so- 

 no oo 2 . 



40. Esaminiamo infine 1' ipotesi che 2 sia un sistema oc :ì , onde per una generica 

 cubica k, di T, passano oo 1 quadriche di 2. 



Sia r una generica corda di k; le quadriche di 2 passanti per k e per r, sono in 

 numero finito. Distingueremo due ipotesi, secondo che esistano ovvero no, due quadriche 

 distinte e */2, di 2, passanti per k ed r. 



41. Consideriamo la prima ipotesi (n. 40). Preso su /' un punto generico P, esisterà 

 in y { una cubica k t , di T, passante per P\ analogamente in */2 esisterà una cubica k% 

 anch' essa passante per P. Le k t e k % avranno /' per corda , e quindi secheranno ulte- 

 riormente questa retta rispettivamente in due punti P\ e P 2 ; ma le k l e k 2 giacciono in 

 (P), nè i punti P { e P 2 coincidono ( 25 ), dunque incontra (P) in tre punti distinti, ónde 

 essa giace in questa quadrica. Se ne deduce che qualunque retta passi per P e sia corda 

 di qualche cubica di T, appartiene a (F;. Ma allora le rette passanti per P e che, inoltre, 

 siano corde di cubiche di T, non sono oo 2 ma bensì costituiscono un cono ; in altri ter- 

 mini : le corde delle cubiche di T generano un complesso, onde (n. 10) T è un complesso 

 del tipo di T' (n. 6). 



42. Esaminiamo ora la seconda ipotesi (n. 40), supponiamo cioè che esista una sola 

 quadrica, di 2 , passante per k e per r ; supponiamo cioè che formino un fascio le qua- 

 driche d 2 passanti per k, onde questo sistema 2 è un sistema lineare. 



Chiameremo, per un momento, retta " associata „ a k, quella retta che insieme con 

 questa cubica costituisce la base del fascio generato dalle quadriche di 2 passanti per k. 

 Data la quadrica (P) , ogni cubica k v di Y posta in essa , ha la sua retta associata 



(* 5 ) Infatti siccome k, r, P sono generici, la retta r non contiene, oltre di P, alcun punto base del fascio- 

 costituito dalle cubiche di Y esistenti nella quadrica (P). 



