Un po' di geometria dell' S 3 di cubiche gobbe 



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t i la quale appartiene a (P) , perchè questa quadrica passa per k x . Al variare di k t in 

 (P), la retta t l sarà fissa: infatti se fosse altrimenti, otterremmo oo 1 fasci di —, e le loro 

 basi, in (P), sarebbero tali che per un punto generico Q di (P) ne passerebbero due (uno 

 mediante la cubica e uno mediante la retta). Ne segue che se Q' è un altro punto gene- 

 rico dell' ambiente, per i tre punti P, Q, Q' passerebbero due quadriche di 2 , ciò che è 

 assurdo perchè £ è un sistema lineare. 



Ed ora consideriamo le oo 2 cuoiclie di T poste sulle quadriche , di 2 , passanti per 

 una cubica generica k di T. Siccome la k è in ognuna di queste quadriche, così le dette 

 oc 3 cubiche avranno tutte la stessa retta associata: la retta / associata a k. Sia, poi, P 

 un punto generico di t; in ciascuna delle quadriche passanti per k, e quindi per /, esiste 

 una cubica di T che passa per P. Questa ha per associata la retta / , e quindi tutte le 

 cubiche di r ( poste in (P) ) passanti per P hanno t come retta associata. 



Sia infine k % una generica cubica di Y ; per essa si conduca una quadrica / di H, 

 e sia B uno dei punti comuni a / e a fa In y esiste una cubica, di T, passante per B, 

 ma questa, abbiamo veduto, ammette la / come retta associata, quindi tutte le cubiche 

 di r poste in y , compresa dunque la k 2 , ammettono / come retta associata. Ne segue 

 senz' altro che / appartiene a tutte le quadriche di 2, cioè 



il sistema £ è dotato di una retta base f , la quale è corda fondamentale per il 

 coni plesso T. 



43. Siano Pi,..., Pi, con (9 </<C3, i punti base che eventualmente £ può avere 

 fuori di /. 



Il fascio (f , di cubiche di T , esistente in una quadrica y di 2 , avrà 4 — i punti 

 base variabili, e questi sono tali che tutte le quadriche di £ passanti per Lino qualunque, 

 p. es. P , di essi, passeranno per i rimanenti 3 — i. Infatti sia y x un'altra quadrica, di 

 J£, la quale passi per P' ; in essa esiste una cubica di T, passante per questo punto; 

 ma ki appartiene alla quadrica (jP'), cioè a y, quindi essa sarà nel fascio cp, e, di conse- 

 guenza, passerà anche per gli altri punti base di questo fascio ; lo stesso quindi accadrà 

 per la quadrica fa. 



Ne segue senz' altro, dunque, che per i 4 — /' punti base di un fascio come cp, pas- 

 sano le quadriche di una rete di J£. 



44. Ciò posto si riferiscano proiettivamente le quadriche del sistema lineare 2l ai 

 piani di uno spazio S3. Si ottiene in tal modo fra l'ambiente <S' :! di £ , e questo spazio 

 S' 3 , una trasformazione (4 — t, 1) nella quale alle cubiche di T corrispondono le rette di 

 un complesso F- di S' y ; alle cubiche di T poste in una quadrica / di J£ , corrispondono 

 le rette, di V, poste nel piano y' omologo di fa rette che costituiscono un fascio, perchè 



' passano tutte per il punto omologo dei 4 — / punti base variabili del fascio di T esi- 

 stente in fa Dunque T' è un complesso lineare , cioè ogni complesso di cubiche gobbe 

 del tipo in esame , è sempre trasformabile in un complesso lineare non speciale di rette, 

 e ciò mediante una trasformazione spaziale {4 — i, 1). 



Viceversa è chiaro che fissato un sistema lineare oo :! J? di quadriche tutte passanti 

 per una data retta e per /' punti (3 > /> 0) fuori di questa, e stabilita un' omografia fra 

 le quadriche di 2 e i piani di uno spazio ordinario S'- , allora rimane stabilita , fra S'- 



