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Giuseppe M arietta 



[Memoria VII.] 



ed S 3 , una corrispondenza (1, 4 — i) la quale trasforma un dato complesso lineare non 

 speciale di rette di S a in un complesso T, di cubiche gobbe, del tipo in esalile. 

 Notevole l'ipotesi / = 3. 



Da quanto abbiamo ora detto si conclude che 

 sappiamo costruire qualunque complesso, di cubiche gobbe , d'ordine n — 2 e il 

 di cui sistema J£ sia un sistema (lineare) oo 3 . 



45. Si osservi che il complesso V (n. 6) non gode della proprietà detta nel n. pre- 

 cedente , e ciò perchè il sistema relativo a V , costituito da oo 3 coni (quadrici) , non 

 è lineale, ma bensì è un sistema d' indice 4. 



Se peiò consideriamo una trasformazione ciemoniana fra 1' ambiente S 3 , di T', e 

 uno spazio S3 , tale che il sistema omaloidico delle superficie di *S, corrispondenti ai piani 

 di S3 , sia quello delle superficie cubiche aventi come doppi i quattro punti fondamentali 

 (n. 6) di T' , allora la della trasformazione ciemoniana muta V in un complesso tetrae- 

 drale (di rette). 



46. Dalle considerazioni fatte in questo § si conclude che 

 esistono tre soli tipi di complessi, di cubiche gobbe, d'ordine n = 2. 



a) Il primo tipo è caratterizzato dall' esistenza di un fascio di quadriche 

 in ognuna delle quali le cubiche del complesso costituiscono una rete. 



b) Il secondo tipo è caratterizzato dall' esistenza di un sistema lineare oo 3 

 di quadriche, in ognuna delle quali le cubiche del complesso costituiscono un fascio. 



c) Il terzo tipo è caratterizzalo dal fatto che le cubiche di un qualunque 

 suo complesso, passano per quattro punti fissi, e questi hanno, in ognuna di esse 

 cubiche, un birapporto costante ( 2tì ). 



Si noti inoltre (n.i 38, 44, 15 e 45) che 

 i complessi, di cubiche gobbe, d' ordine n — 2, sono tutti razionali. Quelli dei pri- 

 mi due tipi sono tali che ognuno di essi è trasformabile, mediante una certa tra- 

 sformazione spaziale (j , 1) con j <_4 , in un complesso lineare di rette speciale 

 ovvero no secondo che il dato complesso di cubiche appartiene al primo ovvero 

 al secondo tipo; mentre ogni complesso del terzo tipo è trasformabile , mediante 

 una certa trasformazione cremoniann, in un complesso tetraedrale di rette. 



47. Vogliamo ora cercare quali fra i complessi d' ordine n — 2, sono anche di classe 

 v=j?; cioè, come diremo, vogliamo trovare tutti i complessi, di cubiche gobbe, di se- 

 condo grado. 



Esaminiamo dunque i tre tipi a, b, c (n. 46) di complessi d'ordine n—2. 

 11 terzo tipo si esclude subito (n. 6). 



Il tipo a) si può dividere in due sottolipi , secondo che il complesso T ha ovvero 

 no una corda fondamentale / parte della base del fascio £ di quadriche. 



48. Consideriamo il primo sottotipo, e supponiamo che a T appartenga la cubica c 



( 26 ) Siccome le cubiche, di un complesso del primo o del secondo tipo, passanti per un punto generico 

 P dell'ambiente generano uu fascio sulla quadrica (/>), segue che se un complesso d'ordine « = 2 ha quattro 

 punti fondamentali, esso appartiene al terzo tipo. 



