Un po' di geometria dell' S 3 di cubiche gobbe 



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che insieme con f costituisce la base dj Se T è di ellisse v = 2 , la quadrica <p ge- 

 nerata dalle cubiche di T bisecanti una data retta generica /', non passa per c, perchè <p 

 ha già in comune con una qualsivoglia quadrica "/ di la cubica, di T, posta in x e 

 passante per i due punti r%. Ne segue che le cubiche, di T , generatrici di <p , secano c 

 jn quattro punti fìssi. Ciò posto si osservi che la rete delle cubiche di Y poste nella qua- 

 drica x > seca c m una gì , un gruppo della quale sarà costituito dai quattro punti ora 

 detti ; ne segue dunque (considerando, analogamente a /', un'altra retta generica) che 

 questa g\ è fìssa al variare di X in J£. 



Viceversa sia soddisfatta questa condizione. Allora fissato un punto generico P di 

 6", le cubiche di T passanti per F, passeranno pei quattro punti del gruppo, di g\ , cui 

 appartiene P, e siccome inoltre hanno la retta / per corda, esse cubiche costituiscono una 

 congruenza di classe zero. Ne segue che il punto P, non appartiene alla superfìcie (p ge- 

 nerata dalle cubiche di T bisecanti r, e quindi saranno fìssi i quattro punti secondo i 

 quali queste cubiche secheranno c ( 2 'j- Da ciò si deduce subito (n. 26) che (f> è una 

 quadrica. 



Supponiamo ora che c non appartenga a T, complesso che supporremo ancora ap- 

 partenente al primo sottotipo (n. 47). 



Le cubiche, di I\ passanti per P generano una congruenza che non è di classe zero, 

 giacché altrimenti, dovendo c non appartenere al complesso, uno almeno dei tre punti 

 fondamentali che essa congruenza avrebbe, oltre di P, sarebbe nella retta f e fuori di c, 

 ciò che è assurdo perchè le quadriche del fascio J£ non si toccano in alcun punto di / 

 distinto dai due punti cf ( 28 ). Ne segue che la superficie (p passa per c, e quindi essa 

 non è una quadrica ( 29 ). 



49. Se, infine, T appartenesse al secondo sottotipo (n. 47), allora affinchè la con- 

 gruenza ( 30 ) delle cubiche, del complesso, passanti per P sia di classe zero, dovrebbe 

 esistere una corda fondamentale per essa. Questa non è, per ipotesi, /, quindi non po- 

 trebbe essere che una certa retta /' incidente c ed /, ovvero bisecante c ( 31 ) ; comunque 

 le cubiche d .Ila congruenza dovrebbero appoggiarsi alla /'■ in due punti fissi, e ciò porte- 

 rebbe di conseguenza che le quadriche di £ si toccherebbero in uno o due punti di c 

 fuori di f, ciò che è assurdo. Ne segue anche qui che la superficie <p non è una quadrica. 



50. Esaminiamo ora l' ipotesi (n. 47) che il dato complesso T appartenga (n. 46) al 

 tipo 6). 



Giacché J£ è un sistema lineare co 3 , esisterà una sua (sola) quadrica x passante per 



( 27 ) Si noti che la retta /- è semplice per e quindi questa superficie è irriducibile. 



( 28 ) Si osservi che se qualcuno dei quattro punti fondamentali di una congruenza d'ordine uno e classe 

 zero, è nella corda fondamentale di questa, allora tutte le cubiche della congruenza toccano in esso punto un 

 piano fisso (passante per la corda fondamentale). 



( 29 ) Infatti essa superficie <? ha già un'altra cubica in una qualunque quadrica del fascio 2. 



( 30 ) Questa congruenza è d'ordine uno, perchè per un punto generico dello spazio passa una sola qua- 

 drica di S, e in questa le cubiche della congruenza costituiscono un fascio. 



( 31 ) Si noti, infatti, che il fascio delle cubiche, di T, passanti per P e poste in una generica quadrica 

 y di S, ha per punti base i quattro punti fondamentali della detta congruenza. Ne segue che i due punti 

 //', dovendo essere comuni a tutte le cubiche di ^, coincidono con due dei quattro punti fondamentali ora 

 detti, e di conseguenza appartengono alla base del fascio 2. 



