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Giuseppe Fichera 



[Memoria X.] 



Segue che per il determinante | pi, 3 j si ha 



\p itj \±=± w»; (3) 



e quindi, per un importante teorema del Frobenius : (4) 

 L'Algebra A è semi - semplice. 



5. Un' algebra semi-semplice con modulo o è semplice, o è somma direttaci algebre 

 semplici (con modulo) < 5) ; è un'algebra complessa semplice con modulo è regolare (6) , 

 dunque : 



L'algebra A o è regolare, o è somma diretta di algebre regolari. 



(3) Possiamo precisare, in qual caso nella uguaglianza | p ifi \ =±n n vale il segno + e in qual caso 

 il segno —, facendo vedere che il segno di \p>,j | non dipende dall'ordine in cui noi consideriamo le unità 

 dell' algebra, ma unicamente dalla struttura del gruppo. Dimostriamo infatti che : Se / è il numero delle cop- 

 pie di elementi del gruppo inversi e distinti, si ha : 



| | =(-1)'»* . 



Infatti se 



u ì . i n s , u s u ( r = n — 2 1) 



2 3 r 



sono le unità che coincidono cori le proprie inverse, e 



(u s ,u s ), ,(u s , u s ) 



r+1 r + 2 r + 2t — 1 « 



sono le / coppie, ciascuna formata di unità distinte e inverse, il determinante | p;,j | è dato da 



v P + ° 



(—1) P Ps ,s - -Ps ,s Ps ,s Ps ,s ••■Ps ,s Ps ,s = 



1,1 2 2 r r r+1 r+% r + 2 r + 1 »-+- 2f — 1 ji n r + 2«-l 



A' + 3 



= (— 1) n\ 

 dove e è il numero delle inversioni della permutazione 



1,52, • • • • , S r , S r + ì,S r + 2,' ■ • ■ , S r + 8 1 — 1 , S.t, 

 (rispetto alla permutazione fondamentale i, 2 , n) e è il numero analogo per la permutazione 



1,52,. . . . , S r ,S Sr + 1, • • • • , 5 n , S r + 2t — 1 ; 



ma evidentemente p e a sono della stessa parità o di parità diversa secondo che / è pari dispari, dunque 



P + a 



( — 1) n n =(— 1 ■)*«", 



e I' asserzione è dimostrata. 



(4) Loc. cit. 2 ), pag. 3S9. 



(5) Loc. cit. 2 ), pag. 330- 



(6) Loc. cit. pag. 391- 



