/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 9 



dello stesso tipo e fra loro indipendenti. Supponiamo che n — /// relazioni si fatte siano 



«/. l Hi + • • • • + a f. * Un = ( f= 1 , ,11 — III J. 



Ciò posto , indichiamo con A un' algebra legata a (J e per essa manteniamo le ipotesi e 

 le notazioni del n. 12 ; poi stabiliamo una corrispondenza Q tra gli elementi di A e quelli 

 di A' ponendo che all'elemento x di A per il quale è 



X — 5i U\ + • • • • 4" In U«, 



con le Si numeri complessi, corrisponda 1' elemento x di -1' dato da : 



X = %! U'i + . . . . + ?» • 



Se poniamo 



y/ = «/, i «*i +'•••• + a x." w » (/ — 1 i « — »0 



è chiaro per le ipotesi fatte più sopra : 



1° che gli elementi Vi , . . . . ,y u -m risultano u — m elementi indipendenti di A; 

 2° che tutti, e solo, gli elementi di A a ciascuno dei quali risponde per il lo zero di A' 

 sono gli elementi del sistema S di ordine u — ni generato da v x j%_„ t . 

 Ora, tenendo conto del fatto che se è 



«i Uj =U h , 



è pure 



u'i Uj = u'„, 



si riscontra subito che se per tì agli elementi x,y di A rispondono gli elementi x\y di 

 A\ agli elementi xjy e yx di rispondono per il gii elementi .v' v' e y x di .4'. D'al- 

 tronde, se x è in S, è .v' = o e quindi anche x' y = o, y X—0, qualunque sia y in 

 il; e l'essere x'y'=y x = o significa che xy e yx stanno in 5; dunque se x è in 

 S, i prodotti xy e yx , qualunque sia y in A stanno in S, ed S è una sotto-algebra inva- 

 riante di A. 



Da ciò e dal fatto che A è semi-semplice con modulo, segue, per un teorema noto (14) , 

 che esiste in A una (ed una sola) sotto-algebra (invariante) T per la quale risulta 



A = S + T, 



e che S e T sono entrambe semi-semplici al pari di A. Ora si riscontra subito che agli 

 elementi x, y di A risponde per il uno stesso elemento di A' quando e solo quando, x-y 



(14) Loc. cit. 2 ), pag. 330-31. 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XIII — Metti. X. 2 



