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Giuseppe Fichera 



[Memoria X.J 



sia un elemento di S, e che viceversa a ciascun elemento di A corrispondono per tutti 

 e solo, gli elementi di una classe di A mod. S; (lJ) d'altra parte se x, y sono elementi 

 di T non può essere x-y un elemento di S se non a patto che sia x — V — o cioè „r = y, 

 dunque la corrispondenza Q fra A e A subordina una corrispondenza biunivoca fra T ed 

 A'. Ma quest' ultima risulta evidentemente una corrispondenza di isomorfismo fra 7 e 

 A', dunque A' è equivalente a T ed è, come volevasi, semi-semplice. 



§ 3 — Gruppi di matrici. 



10. Un insieme di matrici quadrate formanti gruppo rispetto alla operazione di pro- 

 dotto (fra matrici), si dirà, un gruppo di matrici. 



Naturalmente le matrici di un gruppo dovranno essere tutte dello stesso ordine. 



11. Se T e F sono gruppi di matrici, si dice che essi sono equivalenti se gli ele- 

 menti di T' sono i trasformati degli elementi di Y mediante una stessa matrice (non dege- 

 nere). La relazione di equivalenza fra gruppi di matrici gode evidentemente della proprietà 

 riflessiva , simmetrica e transitiva. Inoltre è chiaro che gli elementi di gruppi di matrici 

 equivalenti sono tutti matrici dello stesso ordine. 



12. Denotiamo con Q% } un gruppo, di ordine //, di matrici, di ordine p. Gli elementi 



di Gf siano 



Yt» Y» »■•••» Y« 



essendo Yi l' elemento identico ( del gruppo ) . 

 Dovrà essere intanto 



Yi = Yi 



quindi o Yi è una matrice nulla o y L è una matrice automodulo. Se Yi — s ' na 



Yi Y< — Y< Yi = 



quindi deve essere necessariamente n = 1 . 



Se n > 1 Yi è necessariamente un automodulo. Indichiamo con c la caratteristica di 

 Yi. Allora <16) è possibile trovare una matrice (non degenere) a, tale che 



— a -1 Yi « 



risulti una matrice automodulo canonica, cioè della forma : 



c colonne 

 To . . 

 1 . . . 



. . 1 . . 







(15) Per la nozione di classe di A mod. S vedi loc. cit. s ), pag. 251. 



(16) Loc. cit. 2 ), pag. 419. 



