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Giuseppe Fichera 



[Memoria X.| 



ordine c. Ma dunque A 2 , .... , A„ hanno tutte la caratteristica c, perchè ciascuna di 

 esse ha da essere dotata di inversa. 



Se c — p le sono tutte non degeneri, inoltre \ è la matrice identica, e allora 

 tale è anche , perchè la matrice identica non è equivalente che a se stessa. 



Se è < p le X, sono tutte degeneri, ma tutte con la stessa caratteristica. 



Dunque (includendo anche il caso Yi — 0) : Se pili matrici formano gruppo, 

 esse o sono tutte non degeneri o sono tutte degeneri e con la stessa caratteri- 

 stica (17) . /// questo caso, se tale caratteristica non è nulla, il gruppo è isomorfo 

 oloedricamente a un gruppo di filatrici non degeneri di ordine eguale a questa 

 caratteristica, ed equivalente ad un gruppo di matrici di cui ciascuna è della 

 forma 



A 















con A matrice non degenere. 



In virtù di questo teorema i gruppi di matrici che più interessa considerare sono 

 quelli di matrici tutte non degeneri. E inteso per tanto che d'ora innanzi quando parliamo 

 di gruppi di matrici, queste saranno supposte in ogni caso non degeneri. 



15. Dimostriamo ora che : 



Le matrici di un gruppo di ordine finito sono tutte regolari (18) . 

 Infatti sia G\f' il gruppo di cui si tratta. Se r, è il grado di y» si ha 



Ut* = Yi 



dove Yi è la matrice identica di ordine p. 

 Ma allora y, soddisfa all'equazione 



-i = o 



e il primo membro della sua equazione minima è £ * — 1 oppure un suo divisore. 



Intanto gli zeri di %' '' — 1 sono tutti distinti perchè radici rf— dell'unità, dunque 

 y, è una matrice regolare. 



§ 4 — Gruppi riducibili o irriducibili. 



16. Un gruppo come si dirà riducibile se è possibile trovare una matrice a, 

 non degenere che trasformi le n matrici di G% ] in altrettante matrici di ordine p, in cui 



(17) Che in un gruppo di matrici di ordine p queste abbiano tutte la stessa caratteristica è stato di- 

 mostrato anche dal RANUM. [ RANUM, The group. Membership of Singular Matrices (american Jornal of 

 Mathematies. Voi. XXXI, 1909, PP- 18, 41)] in maniera diversa da quella del testo. 



(18) Per la definizione di matrice regolare vedi loc. cit. -) pag. 159 e segg. 



