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Giuseppe Fichera 



[Memoria X.] 



cioè 







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M» — CW = D ( V = e .4'-) = £< 2 > = 0(*l = 



quindi e 



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e Gff' è riducibile. 



Supponiamo ora che il gruppo 6 l( ,f' sia irriducibile. Allora dovrà essere necessa- 

 riamente irriducibile, dunque semplice e regolare. 



Cosicché B è un'algebra regolare di ordine in <T n di matrici di ordine p, che ha 

 per modulo quello dell' algebra regolare R di ordine p 2 costituita da tutte le matrici di 

 ordine p. 



Ma dunque (20) B si piiò trasformare nella sotto-algebra di R che è costituita dalle 

 matrici composte della forma : 



L . 

 L 



. . 



dove L è una qualunque matrice di un certo ordine q, con q divisore di p. 



Se q tosse divisore proprio di p, G** sarebbe riducibile, contro il supposto, dunque 

 è q = p. Ma l'ordine di B è ///, quindi è ;// = q~ — p 2 . Segue allora che B = R e 

 che fra le matrici di G'„ p) il massimo numero di quelle indipendenti è p~ (cosicché p 2 < n). 



Di qua possiamo dedurre subito un teorema fondamentale del Burnside. Infatti è 

 stato dimostrato che se G { t è irriducibile, fra le sue matrici è possibile trovarne p 2 che 

 siano indipendenti. D'altronde è chiaro che, se G\P è riducibile, fra le sue matrici non è 

 certo possibile trovarne p~ che siano indipendenti, perchè nella ipotesi attuale è possibile 

 trasformare simultaneamente le matrici di G\f in matrici aventi tutte certi stessi elementi 

 nulli, dunque : 



Condizione necessaria e sufficiente percliè il gruppo Gif sia irriducibile è die 

 fra le sue matrici ve ne siano p 2 indipendenti. 



(20) G. SCORZA. Alcune proprietà delle algebre regolari. (Note e .Memorie di Matematica. Circolo Ma- 

 tematico di Catania. Voi. 1, pp. 198. 209. 



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