/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 15 



Sempre sotto l' ipotesi che G\P sia irriducibile, sia Ò una matrice di ordine p permu- 

 tabile con ciascuna delle , 



È chiaro che 8 è un elemento della sotto-algebra centrale dell'algebra di tutte le ma- 

 trici di ordine p e quindi ó è il prodotto scalare di un numero per la matrice identica di 

 ordine p. * 21) . È evidente poi che ogni matrice Ò la quale sia il prodotto scalare di un 

 numero per la matrice identica di ordine p, è permutabile con ciascuna delle y ; , quindi : 



Perchè una matrice di ordine p sia permutabile con ciascuno elemento di un 

 gruppo irriducibile di matrici di ordine p, occorre e basta die essa sia il prodotto 

 scalare di un numero per la matrice identica di ordine p. 



17. Il gruppo Gn* sia ora riducibile, e le sue matrici, convenientemente trasformate, 



siano 



A t 

 Q D, 



Da 



A, 









A 1 









Ci 



Di 



• 



Cj 







A, A) 

 O t A,+ D t C, D t Dj 



si trae che le A t formano gruppo, ma non è detto però che l'ordine di questo gruppo 

 sia n. Ciò posto : Un gruppo si dice completamente riducibile se e possibile tra- 

 sformare con una stessa matrice tutti i suoi elementi in modo che questi risultino della 

 forma 



Ai . . 

 B t . 







L; 



■e in modo inoltre che il gruppo formato dalle Ai , quello formato dalle Bi , etc. , siano 

 tutti irriducibili. 



Un gruppo [d'ordine finito) riducibile è completamente riducibile. 



Sia, infatti, G ( p } riducibile. Allora B = (fi , ... , fj o sarà riducibile o sarà irridu- 



cibile ; ma in questo secondo caso B deve essere di un ordine m 

 proprio di p, e le matrici di B si possono ricondurre alla forma 



q % con q divisore 



L . 

 L 







. L 



con L matrice di ordine q. 



(21) Loc. cit. s ), pag. 359. 



