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Giuseppe Ficltera 



[Memoria X.l 



Se le matrici corrispondenti agli elementi T*. » • • • > Tf» di G\f\ cioè di B, sono 



L\ , .... , L n 



queste formano, per conto proprio un gruppo G^p il quale è irriducibile perchè m = g 2 

 Dunque è nell' ipotesi discussa, completamente riducibile. 

 Adesso sia B riducibile, e poniamo 



B = B { v -j- B ' c2) 4- • ■ . + £ {s) 



come precedentemente si è visto, l'elemento \ t di B si può ricondurre sotto la forma 



Ti = 



L ( P . 

 W • 







dove Lp è una matrice, poniamo, di ordine 6 - j , Dp di ordine c 2 , ecc. ecc. 



Intanto le matrici L l ^\ Lty, . . . , L'J' formano per conto proprio gruppo, a questo 

 corrisponde l'algebra semplice (irriducibile) B [l ) quindi esso è completamente riducibile. Lo 

 stesso dicasi per il gruppo formato dalle matrici Lf) , . . . , IJ® e così via, dunque in 

 definitiva si ha che G\p è completamente riducibile, e il teorema è dimostrato. 



18. Con quanto si è detto precedentemente, siamo in grado di poter dimostrare, al- 

 cuni notevoli teoremi di Maschke e di Taber. 



Nel gruppo G'pp avvenga che tutte le matrici abbiano nullo l'elemento che occupa 

 1' /— riga e 1' s— colonna, o, come diremo, l'elemento {r, s) (22) . 



Allora fra le n matrici di non ne possono esistere p~ indipendenti, perchè ogni 

 loro combinazione lineare ha nullo l'elemento (r, s). Ne discende che Gif) è riducibile. 

 Dunque (Maschke) : 



Un gruppo di matrici è riducibile se in tutte le sue matrici è nullo una 

 stesso elemento. 



Dimostriamo ora col Taber che : 



Il gruppo G ( p) è riducibile o irriducibile secondo che è impossibile o possibile 

 esprimere come combinazione lineare delle sue matrici le p matrici (di ordine p) 



dove Ci, i è la matrice di ordine p che ha eguale a 1 V i— elemento principale e tutti 

 gli altri eventuali elementi eguali a zero. 



(22) Naturalmente non potrà essere r = 5. perchè tra le matrici di G$ vi è la matrice identica. (Si 

 ricordi che le dette matrici sono tutte non degeneri). 



