/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 17 



Infatti, se €tg l è ir riducibile, abbiamo visto che B = A* quindi B contiene c Xti , . . , c PfP 

 e ciascuna di queste è combinazione lineare delle ?, , . . . , \ a . Viceversa, supponiamo 

 che le £1,1 , . . . , c PiP siano tutte combinazioni lineari delle y t , . . , '{„, allora B contiene 

 t'i r i , ... , c PiP ; queste essendo automoduli primitivi per l'algebra di tutte le matrici di 

 ordine p (cioè saranno primitivi anche per B. Ma il modulo di B è 



6 "i . 1 ih ~h c f,p 



dunque il modulo di B si decompone nella somma di p automoduli primitivi in B a due 

 due mutuamente nuli itici. Segue che B è dell'ordine p\ cioè G,f è irriducibile. 



§ 5 — Determinante di un gruppo. 



19. Sia G un gruppo d' ordine // e siano 



Yt, Ys, • • • • , Y« 



i suoi elementi. 



Si considerino u variabili indipendenti e posta una corrispondenza biunivoca fra gli 

 elementi di G e queste variabili si convenga di indicare con X-^. la variabile corrispon- 

 dente all' elemento y*. 



Jn conformità di tale convenzione, se il prodotto degli elementi y ; , y jf . , . . , y, di 

 G è y ft , X-, « starà a denotare la stessa cosa che x., . 



Ciò posto conveniamo di indicare anche con x,. . ( . la x^. .,-1 e costruiamo la matrice. 



con 1' intesa che x.^. - sia l'elemento secondo cui si incrociano la riga t— e la colonna 

 Evidentemente questa matrice dipende dall' ordine in cui si suppongono disposti gli 

 elementi del gruppo; e siccome uno scambio fra due di questi elementi produce solamente 

 nella matrice uno scambio di due righe e nel tempo stesso lo scambio delle colonne omo- 

 nime, il determinante di essa che è un polinomio nella vaiiabile .v.,. risulta indipendente 

 da quell' ordine. Tale determinante è appunto ciò che il Frobenius dice determinante 

 del gruppo G. 



20. Dimostriamo che: 



77 determinante del gruppo G, non è altra cosa che il determinante (sinistro 

 destro) ( ' 24 ' dell' algebra A legata al gruppo ove si convenga di considerare come 

 variabile di quello le coordinate dell' elemento corrente di questa. 



(23) Per questa affermazione cfr. loc. cit. -), pag. 352 e segg. 



(24) Cfr. Loc. cit. '-') , pag. 290 e pag. 292-93. 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XIII — Meni. X. 



3 



