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Giuseppe Fiche r a 



[Memoria X.] 



Si supponga che il gruppo G e l'algebra A siano quelli di cui nel n. 2 e si man- 

 tengano per essi le notazioni e le ipotesi ivi stabilite. 



Allora il determinante sinistro di A è il determinante della matrice 



\\%,A\ 



e in questa è 



se 



Ug = Uj U i l . 



Segue che se si suppone di far corrispondere all'elemento yf 1 di G la variabile 

 all' elemento 



Y;Y7 1 = (Y;Yr 1 )~ 1 = Y ! 7 1 



corrisponderà la variabile , e quindi il determinante di costruito con le variabili 

 %i %„ sarà il determinante sinistro di A. 



21. Ora, per un noto teorema della teoria delle algebre (25) , il determinante sinistro 

 (o destro) dell'algebra A si spezza nel prodotto di / potenze di fattori irriducibili, ove questi 

 fattori sono dei gradi pi, . . . . , p, e il fattore di grado p t comparisce con l'esponente pi 

 Per conseguenza, da ciò che è stato detto, discende il famoso teorema di Frobenius : 



77 determinante di un gruppo, si spessa nel prodotto di tanti fattori irri- 

 ducibili quanti sono i suoi sistemi di elementi coniugati del gruppo, cioè quante 

 sono le componenti dell' algebra legata ad esso. Questi fattori sono dei gradi 



p l9 ... . , p t e il fattore di grado p, comparisce con V esponente p ; , se pf, ,p? sono 



gli ordini delle sopra dette componenti. 



6 — Definizione dei caratteri di un grurpo. — Loro determinante. 



22. Per le considerazioni che seguono ci è utile premettere il seguente teorema : 

 Se B è una sotto-algebra invariante di A e x è un elemento di B, si ha 



a (B) — (A) 



X X 



dove con o<^> e a<^) si sono indicate le tracce omonime di x in B e in A rispet- 

 tivamente. 

 Sia 



«i, n, , u m 



(25) Loc. cit. 2 ), pag. 392-93. 



