/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 19 



un sistema di unità di B. Nello scegliere un sistema di unità di A, tacciamo in modo 

 che le prime m coincidano con quelle di B; e quindi sia 



U\, U% , .... , U,,i , «m+1, . . . - , U n 



un sistema di unità di A. 



Le costanti di moltiplicazione in .1 siano le y,,,-,», cioè sia: 



Ui u, = 2 y it] ,itii. 



i 



Se gli indici i ed j sono entrambi ^»ioè uno solo di essi <im, il prodotto u t tfj è 

 un elemento di B, una volta che B è invariante in A; quindi esso è esprimibile mediante 

 le sole //„,. 



Ciò porta che le y^j per cui gli indici non superano ///, sono le costanti di molti- 

 plicazione di B\ e che le y, >; ,, per cui almeno uno dei primi due indici è <T/// mentre 

 ly>fn, sono tutte nulle. 



Adesso siano E!-,; e s1 tl i parametri sinistri e destri di x in A . 



Essendo % l , £ 2 > • • • • , E,» , , .... , le sue coordinate in .-l , rispetto al sistema 

 di unità considerato, e quindi .... , % m le coordinate in B, sarà 



fi 



1 . . il 1 . . m 



Segue che per j > m viene 



-j, j — ~*i>.i — w 

 e le tracce, sinistra e destra di .v in A sono 



e,.. 



cioè sono le tracce omonime di .r in i?. 



E bene osservare esplicitamente che, per quanto risulta dalla dimostrazione esposta, 

 il teorema qui stabilito, vale non per le sole algebre complesse, ma per algebre definite 

 in un corpo qualunque. 



23. Adesso consideriamo una qualunque delle unità u x , .... , u„ dell'algebra A le- 

 gata al gruppo G , diciamo u ; , e poniamo 



i . . a. i . . ni 



I' = 



