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Giuseppe Fichera 



[Memoria X.I 



§7 — Alcune proprietà fondamentali dei caratteri di un gruppo. 



26. Le contanti di moltiplicazione delle w t , . . . . , W t , nella sotto-algebra cen- 

 trale di A, sono numeri interi positivi o nulli. 



Infatti poniamo 



i..< 



W t Wj — S C;, h iV0i 



1 



Si ha: 



Wi Wj = (*, vi +.. h u S; f{ ) ( u Sil +.... + u Sji r ) (4) 



Il secondo membro di questa uguaglianza è una espressione lineare delle u lf . . . . ,u n A 

 coefficienti interi positivi o nulli, una volta che le costanti di moltiplicazione delle u t nell'al- 

 gebra A legata al gruppo G sono tutte eguali a o 1. 



Ma 



+ tts ) (5) 

 '•'V 



e il secondo membro di questa uguaglianza al variare di / da 1 a /, essendo le u s tutte 

 distinte, viene una espressione lineare delle Ui,....,u n dove i coefficienti sono Iec iiJjt . 



Quindi eguagliando il secondo membro della (5) con Io sviluppo di quello della (4) si 

 ha il teorema. 



Notisi che: Per le c,, jA sussistono le seguenti uguaglianze : 



_\0 se j 

 I r, se j 



Infatti 



WiWj = C,,j, l Wi + -f C,,j, t-w t 



dove (cfr. nota ll2) ) Wi = . 



Ora se il prodotto WìWj Io sviluppiamo come in (4), si vede che l'elemento (identico) 

 n x comparisce nello sviluppo r, volte se j=i' cioè se il sistema j— è l'inverso dell'/— r 

 mentre non ci verrà mai se j—\zzi", dunque ecc. 



27. Dimostriamo ora, ripetendo per comodità del* lettore un ragionamento noto, che 

 fra gli interi c it ^i e gli interi r-, passa la relazione 



W; Wj = 2 C\ jtl {U s -(-.... 



Cì.j. * t'k C ì:.j'. i fi' 



I 



