/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 23 



Consideriamo il prodotto w,!^ per il quale si ha, da una parte, 



i . . i 



<Wi<Wj — 2 Cì. hU w k , 



dall' altra : 



■Wi W: = u , n . 4- . . . . 4- u , u ■. 4- 



J U,l s j,i 1 1 *f,r. 1 



4- ti, u. ,4- . . 4- 7/ f ?/ f 4- 



H- + 



+ "... ,. 11 s, ,-+-•••. + U Sl .. ll s 



e facciamo vedere che sulle singole righe della somma a secondo membro in quest'ultima 

 eguaglianza comparisce sempre uno stesso numero di elementi appartenenti al k— sistema. 



Prendiamo di mira, infatti, la p— e la q~ riga, e supponiamo che l'elemento u s . U s .^ 

 della prima stia nel fc— sistema. 



Per un conveniente u ,. sarà 



H , =11 ,. U . Il ,. 



ò i.<i 3 i.p 



Se poniamo che sia 



«» l {q' = l ,rj) 



saia 



U . = u ,. li, u , // , 



s i.q ò ).q' s i.p 3 j.p' 



-cioè 1' elemento della q— riga u, u. è appunto un elemento del k— sistema. 



a i.g ò j.<i' 



Il ragionamento è invertibile , quindi possiamo asserire che tanti sono gli elementi 

 del k— sistema che capitano nella p— riga, quanti sono quelli della riga q—. Ora in 

 WiWj capita djjt volte la somma <w k degli elementi del k— sistema, e questi sono in nu- 

 mero di r u quindi in ciascuna riga della somma, compariscono 



• Cij.u r k 



elementi del k— sistema. 



