/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 27 



quindi si ha : 



(V) 



Notisi che da (IV) e (V) si deduce 



pH = W (VI) 



32. Utilizzando la formula (V) possiamo precisare un teorema precedente. E stato 

 osservato che il determinante A dei caratteri è diverso da zero ; ora noi possiamo calco- 

 larne esplicitamente il valore, mediante l'ordine del gruppo e gli ordini dei suoi sistemi 

 di elementi coniugati. Supponiamo che di questi / sistemi s sia il numero di quelli cia- 

 scuno dei quali coincide col proprio inverso, per modo che posto t — s = 2 m, ni sarà 

 il numero delle coppie di sistemi inversi e distinti. Dimostriamo che : 



Il determinante dei caratteri è uguale a 



Per modo che A è un numero quadratico, reale, se m è pari, immaginano, se m è 

 dispari. 



Infatti eseguiamo per colonna il prodotto del determinante A per sè stesso. Risulterà, 

 per le (11), un determinante, in cui tutti gli elementi sono nulli tranne / di essi di cui 5 

 sono disposti lungo la diagonale principale e gli altri t — s~2m sono disposti simme- 

 tricamente rispetto ad essa. 



D'altronde gli elementi non nulli, sempre per le (11) sono 



n n n 



7x ' 7» 7* 



dunque ( cfr. il ragionamento dell'annot. 3 ) ) 



33. Facciamo vedere ora che i caratteri del gruppo G sono interi algebrici. 

 Prendiamo un elemento nel nostro gruppo, u, , e poniamo sia 



U t = X$> + + X$. 



con .v ( /'> in A' h) . 



Indicato con y, il periodo di u, , nel gruppo, sarà 



