/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 29 



Supponiamo che G K,,) e L u>) diano ciascuno una rappresentazione di O mediante ma- 

 trici di ordine p e che y, e X, siano gli elementi rispettivamente di G u ' ] ed V 1 '' corri- 

 spondenti all'elemento g t di G nelle date rappresentazioni. 



Se è possibile trovare una matrice (non degenere) di ordine p che trasformi y { in X ; 

 per ogni / nella serie 1 , ... , ;/ , si dirà che la rappresentazione data da L <p) è equiva- 

 lente a quella data da G^ . 



Naturalmente in tal caso il gruppo Z. (,J) è equivalente ed oloedricamente isomorfo, al 

 gruppo G^ p \ ma l'osservazione non è invertibile. 



Può darsi benissimo che L (p) coincida con GW e che non ostante ciò le rappresen- 

 tazioni date da essi siano non equivalenti. (2ti) 



Una rappresentazione di un gruppo (1 , mediante un gruppo G {I>) si dirà riducibile 

 ■o irriducibile secondo che tale è. G { P\ 



35. Sia A l'algebra (semi-semplice) legata al gruppo G . Si ha : 



A = AP> -h A® + + ^ (<) 



con algebra regolare di ordine p\ . 

 Poniamo 



Uj = xf> + ••••+ x? 



con x® in A®. 



j 



Le x®, . . . . , x® costituiscono in A<- 1] un gruppo (di ordine < n) in isomorfismo 

 (oloedrico o meriedrico) con G . Intanto x& x$ si possono riguardare come ma- 

 trici di ordine pi ; dunque possiamo dire che esse dànno una rappresentazione di G me- 

 diante matrici di ordine p; . 



Le u„ determinano A, quindi le xW , . . . , x® determinano A (i) e fra di 



esse ve n' è p\ indipendenti , per consequenza il gruppo che esse formano si può consi- 

 derare come un gruppo di matrici di ordine p, irriducibile e possiamo dire pertanto che 

 esse dànno una rappresentazione irriducibile di G. 



Ebbene dimostriamo che : 



Le rappresentazioni irriducibili di G che sorgono a questo modo dalle t al- 

 gebre A {i) sono a due a due non equivalenti. 



Suppongasi se è possibile che sia i —\— h e che (x^ , . • . , X®) e , . . . , X^> ) 



diano rappresentazioni equivalenti di G. Naturalmente dovrà essere p : ~p h , per modo 

 che se le p, fossero tutte differenti il teorema sarebbe già dimostrato. Siccome matrici 

 equivalenti hanno tracce eguali, dall' ipotesi fatta segue che 



traccia xty — traccia .vj.''> ( r — l ) 



quindi il carattere definito da A® verrebbe a coincidere col carattere definito da A {h K Ma 



(28) Veggasi per un esempio di ciò il classico trattato del BURNSIDE. 



