/ caratteri di un gruppo e le sue sosiitusioni sopra un gruppo ecc. 31 



con a^ J) in AW, cioè della forma 



a = s 4- 



con 5 ( = a { \ . . . + a {i + ] rt (i +>. . . + a {t) ) elemento di S ed a® elemento di A® cioè 

 di T; quindi se alla classe [a] di A mod S, si fa corrispondere l'elemento <v (8) di A<" , 

 nasce una trasformazione biunivoca dell'algebra A — S nell'algebra A (,) , che è una tra- 

 sformazione di isomorfismo, diciamola <a . 



Facciamo il prodotto co to'. Questo sai a una trasformazione di isomorfismo di B in A^K 

 Vediamo in questa che cosa corrisponde all'elemento y ; di B. 



Yj di B per <o va in \u,\ 

 di A — S per <o' va in x {i) di A {,) 



se è Uj = xW-\- ••• -}- Xj t] con in z^ 1 . Dunque per <ow' agli elementi y L , . . . , y„ di i? 

 rispondono rispettivamente gli elementi x® x^' } di . 



Ora supponiamo A^ l) rappresenta sull'algebra B mediante una corrispondenza di iso- 

 morfismo (il che può essere fatto appunto perchè A^ è regolare e dello stesso ordine 

 di B). In questa corrispondenza a x^ , . . . , xty corrispondono in B le matrici S t , . . . , ò )( . 

 Le 8i , . . , b n corrispondono allora alle y l , . . , y„ in una corrispondenza di auto-isomorfismo 

 di B. Ma ciascun auto-isomorfismo di B è un auto-isomorfismo interno di B (appunto per- 

 chè B è regolare) (30) dunque esiste una matrice, diciamola a, di B che trasforma le 8, 

 nelle Yi • Sicché le rappresentazioni di G, date, una da Yi , • • • , Y« s a ' tra da &i > • • • > K 

 sono equivalenti. Quest'ultima è equivalente a quella che si può considerare come data 

 da , . . . , x$ , dunque la rappresentazione data da y x , . . . y, t è equivalente a quella 

 che si può considerare come data da x® , . . . . , x®. Si conclude col teorema fondamen- 

 tale (Frobenius) : 



Un gruppo con t sistema di elementi coniugati ammette t e soltanto t rappre- 

 sentazioni irriducibili a due a due noti equivalenti. 



37. Del gruppo G abbiasi una rappresentazione mediante il gruppo G^ e una rap- 

 presentazione mediante il gruppo G^ lì - 

 In quella agli elementi di G , 



gl , . . . . 1 gn 



■ '-.V' 



corrispondano le matrici di ordine p 



l'i , .... , v n 



in questa le matrici di ordine pi. 



ra>i ,w H . 



(30) Loc. cit. 2 ">. 



