/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 33 



si ha 



JW) -J'J J 'p.Ai) Ai) _ 1 v I 'y>^ iiW l(i>„W) — 



Pr, n ;<,/ t —-* U r. r A ; j, ^ u j, ij ; t, t L — <£> K r,s l X r L ,s L k sJ f\,^ ~ 



S Si S Si 



s s L 

 quindi resta come volevasi 



3-, 3j — Su . 



La rappresentazione data dalle Si,....,s a si dirà prodotto delle date e se queste 

 si indicano con r e T, essa si indicherà con YV i . 



Questo prodotto di fronte alla relazione di equivalenza fra matrici, gode della pro- 

 prietà commutativa. Infatti si verifica subito che sa le s[, . . . . , £ n sono le matrici che 

 danno la rappresentazione T t T, come le s L , . . . .,s n danno la rappresentazione TF i , s'j non 

 differisce da Sj che per una permutazione sulle righe e la stessa permutazione sulle colonne 

 e quindi e 3$ sono equivalenti. 



§ 9 — Determinazione di tutte le rappresentazioni di un gruppo. 

 38. Abbiasi una rappresentazione del gruppo G con matrici di ordine p, 



Formiamo l'algebra B — (v lì v a J e poniamoci dapprima nella ipotesi che questa 



sia irriducibile, quindi regolare ed equivalente a qualcuna delle componenti irriducibili 

 dell'algebra A legata al gruppo G. Come tale l'ordine di B sarà il quadrato di qualcuno 

 dei numeri p { p, . 



Indichiamo l'ordine di B con q~ , essendo q eguale ad uno dei numeri p L ,....,p t . 

 Essendo B un' algebra regolare di ordine q 2 formata con matrici di ordine p e avente 

 per modulo la matrice identica di ordine p, q è un divisore di p e posto p = qy, B è 

 trasformabile mediante una matrice di ordine p sull'algebra delle matrici di ordine p, 

 ciascuna composta con y matrici eguali di ordine q (32) . 



Si ha dunque che la rappresentazione considerata è equivalente a una rappresenta- 

 zione 



(32) Loc. cit. 20 ). 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XIII — Meni. X. 



5 



