/ caratteri di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 37 



Infatti che le||Xr,»|| diano una rappresentazione, è intanto fuori dubbio, perchè se è 



■e corrispondentemente 



Che poi la nuova rappresentazione sia irriducibile, proviene da ciò che il massimo 

 numero di matrici indipendenti fra le matrici || X^ II eguaglia il numero corrispondente per 

 le matrici || X,V' S || . 



Converremo di indicare con rV la rappresentazione coniugata della rappresentazione 

 indicata con T ; . Naturalmente può ben darsi che sia FV = T ; . 



Conformemente a ciò, indicata con A {1> , una delle nostre algebre componenti, indi- 

 cheremo con r, la rappresentazione che essa dà, e quindi con A'- 1 '' l'algebra che dà la 

 rappresentazione coniugata. 



Ciò posto dimostriamo che : 



Si ricordi che r \>%' è il valore del carattere s'"" (cioè dato dell' algebra A (s> ) per gli 

 elementi del sistema di elementi coniugati che è V inverso dell' h— sistema. 



Analogamente : ffi è il valore del carattere dato dall' algebra A (s '> per gli elementi 

 dell' sistema. 



Sia ora u k un elemento dell' ti— sistema. Poniamo 



■con .Vft' in A°\ Allora tyff* non è altra cosa che la traccia di .v'/', ove questo si pensi 

 come una matrice di ordine p a t . 



Quindi '-p/f * è la somma delle radici caratteristiche di questa matrice. 



Adesso uj; 1 è un elemento del sistema ti— . Poi è 



-ì 



k 



-1 



dove, beninteso, .rj/ )_1 è l'inverso di .v { J } in A^'K 



Consideriamo x$~ l , come una matrice di ordine p s . Questa matrice lia pei' radici 

 caratteristiche le inverse delle radici caratteristiche di .v| s) , cioè (trattandosi di radici del- 

 l'unità) le complesse coniugate delle radici caratteristiche di x^ s) , cioè le radici caratteri- 

 stiche di ; quindi la traccia di xf)~ 1 uguaglia quella di x\p . 



Ciò significa che 



(VII) 



