/ cara/ter/ di un gruppo e le sue sostituzioni sopra un gruppo ecc. 39 



43. Consideriamo al solito il gruppo G {g { , . . . , g„) e siano T, , 1^ sue rappresen- 

 tazioni irriducibili. 



Per r, ; agli elementi gi,.--,g n ^^ì gruppo corrispondono, come abbiamo convenuto, 

 gli elementi x$ , . . . , xty dell' algebra A' 1 ' componente dell'algebra A legata al gruppo G 

 e così per T ; gli elementi xf\ . . . , x'£ della componente A^K 



Le .v<" , . . . , x$ si possono considerare come matrici di ordine p t ; le loro tracce 

 y J'* , . . . , danno un carattere di G : e così le x['ì , . . . , x'£ . 



Formiamo la rappresentazione T, T } che è una rappresentazione mediante matrici di 

 ordine pi pj . In questa rappresentazione all'elemento^",, di 6 risponderà la matrice s ìx 

 che si ottiene col processo noto, dalle matrici xff ed x^K 



Ma allora la traccia di s h è il prodòtto delle tracce di x { £ ed x$ , cioè xj^Xj?- 



Intanto 



r, r, =-!s ^,,r. 



ossia la matrice s h è equivalente ad una matrice composta con gi.u\ matrici eguali a x\}\ 

 gij.o matrici eguali a x ( F> e così via. Ma la traccia di una matrice composta è la somma 

 delle tracce delle matrici componenti, dunque : 



X^XÌ J) = Ì'^..Xk 8) (*"=1, ...,») . (15) 



■od anche 



$^=^2 gi,j,s¥$ (h=\,...,t) (15') 



Se nella (15) moltiplichiamo membro a membro per r h e sommiamo rispetto ad h, 

 viene : 



!s <rf ^ = Ì' r fc ^' g w< . V,? = v' , , J£ r a tlf 



h ft s s A 



■che per le (Vili) ci da 



V Vk WW = g t . J . i n . (IX) 



h 



44. La (15') pei- h= 1,. . . . ,t ci da : 



ft*ttf» + -hAi.« ♦P = *{« #P 



Di qua moltiplicando successivamente per qpl^ , • . . , cpl s ' e sommando, ricaviamo 



ft,/.. = ls , 'M?.*ì* q#' (16) 



