Siili' analogia fra campi idrodinamici e campi elettromagnetici 



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intendendo l'integrale esteso a tutto lo spazio (corpi e fluido fondamentale). 



Dimostriamo che " T può essere espressa mediante integrali estesi ai soli corpi. „ 

 Infatti, «per i noti teoremi di Clebsch [A. V. G. , I, pag. 126], si può scrivere 



(21) v — k grad cp j- rol w 



essendo qp un numero reale e w un vettore, funzioni dei punti P del sistema. 



Allora, tenendo conto della (21) e della (3), la (20) assume successivamente la forma 



(20') T = -^ i grad qp X v . d t -f -i- j rol w X v . d t = 



= / grad qp X V • dz -{- — j rot w X V ; . d z -f- — / — rot w X v, . dz . 



Essendo v f =|— o per i soli corpi, 1' ultimo integrale si estende soltanto a questi ; 

 quanto agli altri due si osserva che, per forinole note (A. V. G. , I, pag. Ili [2]), si ha 



j grad qp X v . dz = — j qp . n X V . do -- j I, ( ^ <( ) . rft = 



— — / qp . n X V . do — / qp . div V . dz 



I rot \V X Vi • dz = — l n A w X v £ . do -f- / w X /"o/ v, . r/t 



dove n è un vettore unitario, normale ad una superfìcie limite del campo, in un suo 

 punto generico P, e rivolto verso 1' interno dello spazio racchiuso dalla superfìcie. 



Potendosi estendere 1' integrazione a tutto lo spazio, si ha, per quanto si è dimo- 

 strato nel § precedente, che gl'integrali di superfìcie si annullano e quindi la (20') assu- 

 me la forma 



(20") T— ™|()).i//rv dz -;- —j rot y, X w . dz — Ar rot w X V, . dz 



dove, nel caso di esistenza di superfìcie di discontinuità, i primi due integrali contengono 

 implicitamente degli integrali di superfìcie. 



Osservando ora che, in tutti i punti del /laido fondamentale si ha div v = o, 

 rot Vi— o , v e = o , si conclude quanto si voleva dimostrare. 



7. — Teorema fondamentale sulla determinazione dei campi idrodinamici. 



Supponendo che in tutto lo spazio occupato dal fluido sia div y = o , rot y, ■ = o , 

 y e = o , dalla (20") si ha T=-0\ ma, per T=o, dalla (20) risulta v = o e quindi, per 

 la (3), anche 7eVi = o; si conclude perciò che, nelle fatte ipotesi, non esiste moto. 



Ciò premesso, consideriamo due campi idrodinamici aventi, nei punti corrispondenti, 

 gli stessi valori di div V, rot V, ; , v, . Il campo risultante dalla differenza dei predetti 

 avrà identicamente nulle tutte le dette quantità e quindi è un campo di moto nullo. Segue 



