Sopra alcune varietà tridimensionali a curve sezioni del genere 3 3 



Si osservi inoltre che un iperpianò di S r , taglia la V\ in una superfìcie che possiede 

 dieci cubiche ellittiche, (1) (per proprietà noie di questa sezione). 

 Pertanto si potrà affermale che : 



Le trisecanti della W\ si distribuiscono in oo :ì piani, i quali riempiono sem- 

 plicemente lo spazio ambiente e di cui un iperpianò ne contiene dieci; questi 

 piani si dispongono in oo 3 coni razionali del terzo ordine aventi i vertici nei 

 punti della V%. 



4. Ho già osservato che la sezione iperplanare di questa varietà è la superficie rap- 

 presentabile sul piano mediante il sistema delle quartiche passanti per dieci punti studiata 

 dal prof. Bordiga e incontrata dal prof. Castelnuovo nella sua classificazione di tutte le 

 superficie razionali a curve sezioni di genere tre ; appartiene alle superficie eli' egli chia- 

 ma di prima specie, per le quali, cioè, la rete delle curve di quesl' ordine che determina 

 la serie canonica su una curva sezione è razionale e omaloidiea. 



Si può d' altro canto dimostrare che una varietà avente per sezione iperplanare una 

 tale superficie di prima specie è sempre generabile proiettivamente nel modo suddetto. 



Per maggiore chiarezza premetto alcune considerazioni sulla superficie che si rilevano 

 subito osservando il sistema piano rappresentativo di essa. 



La lete delle quartiche canoniche contiene dieci fasci di quartiche spezzate in una 

 retta e in una cubica sghemba; in ogni fascio la retta è fissa e le oc 1 cubiche tagliali la 

 retta ciascuna in un punto e fra loro non s'incontrano, mentre non incontrano le rette 

 degli altri nove fasci e intersecano in un punto ciascuna cubica di questi fasci. A cia- 

 scuna retta della superficie corrisponde inoltre una cubica piana ellittica che non incontra 

 la retta e interseca in un punto le altre nove; questa cubica piana taglia in tre punti 

 ogni cubica sghemba del fascio avente per asse la retta cui essa corrisponde, e con cia- 

 scuna cubica sghemba costituisce una curva sezione completa della superficie. 



Si fissino ora sulla Vi i piani di quattro cubiche (indipendenti) ellittiche: condotto 

 un Si per uno di questi piani si consideri la retta della sezione superficiale contenuta 

 nello S 4 , retta corrispondente alla cubica del piano ; si chiamino corrispondenti all' iper- 

 pianò condotto i tre iperpiani che congiungono la retta con ciascuno degli altri tre piani. 

 Resta così determinata una corrispondenza tra le quattro stelle aventi per centri i piani 

 assunti, e una corrispondenza tra queste stelle e la congruenza di rette della varietà; evi- 

 dentemente anche la seconda corrispondenza è biunivoca. Resta da dimostrare che la cor- 

 rispondenza stabilita fra le quattro forme di seconda specie è una collineazione. 



A tal uopo si fissi un fascio in una stella: esso ha per centro un S z che taglia la 

 V\ nella cubica piana situata nel centro della stella e in una cubica sghemba; le oo 1 

 rette della Vi contenute negli spazi del fascio sono incidenti alla cubica sghemba e for- 

 mano una rigata razionale che ha quella cubica per direttrice semplice ed è quindi la ri- 

 gata del quart' ordine di S 5 . Un S 4 di ciascuna delle altre stelle corrispondente a un 

 del fascio considerato taglia questa rigata in una generatrice e in una cubica sghemba 

 che incontra in tre punti il piano centro della stella ed è, s'intende, direttrice della rigata 

 medesima ; dunque la cubica non varia al variare, nella stella, dello spazio corrispondente 



(i) CASTELNUOVO, Sulle svperficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere Ire. Atti R. Accad. 

 Scienze, Torino, XXV, 1890, 



