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Luisa Bellesiìii 



[Memoria XIV.] 



a quello generico del fascio, ovvero lo spazio stesso passa sempre per Io S 3 della cubica, 

 e quindi si muove pur esso in un fascio. Ciò prova, come volevasi, che la corrispondenza 

 stabilita è collineare, e permette di affermare che : 



La varietà tridimensionale a curve sezioni di genere Ire e a sezioni superfi- 

 ciali del sesto ordine di prima specie è generabile per intersezione degli iper piani 

 corrispondenti di quattro stelle collineari di seconda specie , o per intersezione 

 dei piani corrispondenti {che si tagliano) di tre stelle collineari di terza specie. 



5. La Vi è riferibile biunivocamente a uno spazio ordinario nel seguente modo. 



Si fìssi un punto A di essa e un piano a della V\ conica formato dalla bisecanti di 

 Vi uscenti da A. Preso poi un punto generico./ 3 della Vi si osservi che per la retta PA 

 passa uno e un solo S 3 che taglia la Vi in un cono quadrico avente su a una genera- 

 trice r ; il piano determinato dalle rette PA e r incontra la VI in cinque punti della VI 

 (situati su r e sull' altra retta sezione del piano con il cono quadrico) e inoltre nel punto 

 P ; dunque il punto P l d' intersezione di questo piano con un determinato S 3 dello spazio 

 ambiente si può assumere come corrispondente di P. E chiaro che, reciprocamente , ad 

 un punto generico P l dello si può far corrispondere in modo inverso uno e un solo 

 punto P della V%> 



La varietà è dunque razionale, e il procedimento esposto fornisce un sistema li- 

 neare rappresentativo di essa , sistema semplice e a curve intersezioni variabili di genere 

 tre. Ma il procedimento equivale a proiettare prima la Vi da un suo punto in un *S' 4 , e 

 a mettere poi in corrispondenza biunivoca con lo 8 S la Vi ottenuta per proiezione. Quindi 

 credo opportuno studiare prima in generale la varietà tridimensionale del quinto ordine a 

 superfìcie sezioni di Castelnuovo di prima specie per dedurre poi dalla rappresentazione 

 di essa quella della Vi. 



Nè mi fermo a considerare i tipi proiettivamente distinti di Vi , quali la varietà con 

 piano doppio e le varietà coniche che si ottengono supponendo che nel sistema genera- 

 tivo i centri delle stelle appartengano a spazi subordinati di 8 5 e che nella corrispondenza 

 tra due stelle vi sia un iperpiano unito ; non tutte le Varietà così generate sono a curve 

 sezioni di genere tre, quindi lo studio completo di esse mi allontanerebbe dallo scopo di 

 questo lavoro che è la ricerca di alcuni sistemi lineari a intersezioni variabili di genere 

 tre; mentre d'altro canto mi sarà facile ottenere tali sistemi e di grado 5 da quelli rap- 

 presentativi dei vari tipi di VI dello S 4 . 



6. Si consideri in S i una V\ le cui sezioni iperpiane sieno superficie di Castelnuovo 

 di prima specie. Essa è tagliata da un piano del suo spazio in una curva di C s d'ordine 

 cinque e genere tre epperò con tre punti doppi. Il luogo di questi tre punti doppi è una 

 superfìcie F" del terzo ordine doppia per la varietà e appartenente a S 4 ; in caso ge- 

 nerale è la rigata razionale normale del terzo ordine. 



La F' J contiene oo 2 coniche ; il piano di una conica di F taglia ulteriormente la V\ 

 in una retta ; dunque : esiste sulla Vi, tuia congruenza razionale di rette e ogni 

 retta è corda della superficie doppia. Chiamo A questa congruenza. 



Per un punto generico della V\ (come per ogni altro punto dello spazio ambiente) 

 passa il piano di una conica di F; quindi per quel punto passa- una e una sola retta 

 di A . 



