Sopra alcune varietà tridimensionali a curve sezioni del genere 3 5 



Un 5 ;! taglia la V\ in una superficie che possiede undici rette (1) ; queste rette sono 

 corde della cubica doppia della superficie, cioè sono corde di F e quindi appartengono 

 alla congruenza A perchè ciascuna di esse giace nel piano di una conica di F. 



Da quanto è detto segue che : 



Il sistema A è d'ordine uno e classe undici. 



Per la F passano co 2 quadriche a tre dimensioni ; infatti una quadrica di S t passa 

 per la F appena ne contiene due cubiche sezione e un punto, cioè quando sodisfa a 



2.1 — 3 + 1 = 12 



condizione lineari indipendenti; essendo oo 14 il sistema di tutte le quadriche di 5\, la F 

 ne stacca un sistema subordinato oo 2 . Ma questa superficie trovasi sopra gli co' 2 coni 

 quadrici che la proiettano dai suoi punti ; dunque le quadriche che contengono la F sono 

 tutte e sole quelle semplicemente specializzate ciascuna delle quali costituisce la proiezione 

 di essa da un suo punto. 



Uno qualunque di questi coni taglia la V'i , fuori di F, in una superficie F del quarto 

 ordine ; considerando che i piani di una schiera del cono sono quelli proiettanti le co 1 co- 

 niche di F passanti per il vertice e che quindi ciascun piano contiene una retta di A 

 appartenente a T, si riconosce che T è rigata e inoltre razionale perchè le sue rette cor- 

 rispondono biunivocamente ai piani di una schiera del cono quadrico. 



Due r hanno sempre una generatrice comune, la retta di A situata nel piano della 

 conica di F passante per i due punti che sono i vertici dei coni quadrici seganti la Vi 

 nelle due Y. Quindi : 



Le rette di A si dispongono in oo- rigate F del quarto ordine razionali die 

 entro A costituiscano una rete omaloidica. 



Il vertice di un qualunque cono passante per la F è quadruplo per 1' intersezione 

 completa del cono con la varietà ; poiché questo punto è semplice per la F esso è doppio 

 per la T che completa tale intersezione e ivi s' incontrano due delle sue generatrici ; dun- 

 que da ogni punto della superficie doppia escono due rette di A . 



L'affermazione può essere invertita rammentando che i piani delle coniche di F riem- 

 piono semplicemente lo spazio ambiente e che di essi ne passa un fascio per ogni punto 

 della superficie. Se da un punto della V'i escono due rette di A, per quel punto passano 

 i piani delle due coniche corrispondenti alle due rette, epperò quel punto trovasi sulla su- 

 perfìcie doppia. 



7. Fissata una generatrice g della F, le corde di F che si appoggiano a g costitui- 

 scono un complesso co 3 del primo ordine : infatti , poiché la varietà delle corde di F 

 è evidentemente distribuita negli oo 2 piani delle sue coniche , la retta che nel piano iz di 

 una conica passante per un generico punto P dello spazio ambiente congiunge P con la 

 intersezione di t con la generatrice g è 1' unica retta del complesso considerato passante 

 per P. Allora, preso un S 3 dello spazio ambiente, a un punto generico P della V \ si può 

 riferire il punto P' in cui lo S 3 è incontrato dalla corda del complesso uscente da P ; 

 questa retta, avendo già due punti sulla F, non contiene in generale altri punti della VI 



(i) Castelnuovo. Nota citata. 



