Sopra alcune varietà tridimensionali a curve sezioni del genere 3 



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stituita dalle rette di A appoggiatisi a g. Queste rette, poiché tutte quelle di A sono 

 corde di F, appartengono al complesso dei raggi proiettanti; il punto in cui ciascuna di 

 esse è incontrata da una generica Vi ha pei' imagine la traccia della retta in S 3 . 



Da ogni punto di F partono due rette di A, epperò la g è direttrice doppia della ri- 

 gata M. Uno spazio ordinario w condotto per g contiene undici rette di A, una delle 

 quali trovasi nel piano della conica che con la g costituisce la cubica doppia della V% di 

 (i>, e quindi in generale non si appoggia a g; le altre dieci sono generatrici di M ed esse» 

 insieme con la g direttrice doppia per la rigata formano la sezione di M in w. 



La rigata M è perciò del dodicesimo ordine e la sua traccia nello spazio di 

 rappresentazione è una curva C 12 passante doppiamente per G. 



Il piano determinato da g e dalla direttrice di F incontra Io spazio dì una generica 

 V\ in una retta che contiene un punto di V\ fuori della F: questo punto ha per imagine 

 tutta la traccia d del piano considerato con lo S 3 . Dunque: La retta d è comune a 

 tutte le L : essa congiunge G con il punto O (situato su a) in cui la direttrice di F ta- 

 glia Ss. 



Una retta /' dello spazio rappresentativo uscente da O incontra le L in tre soli punti 

 variabili, imagini dei tre punti nei quali la retta sezione dello spazio di una V\ con il 

 piano (g r), seca la cubica che con la g forma la sezione di esso piano con la VI . Ne 

 segue che il punto G è quadruplo per le L. 



Il punto O è triplo per le superficie, come punto della retta a ; uè esso presenta al 

 .sistema una molteplicità d' ordine auperiore. Infatti una retta r uscente da O è incontrata 

 dalle L in punti sono tracce di raggi appoggiatisi a g ; ora le rette incidenti g e r co- 

 stituiscono uno spazio ordinario che taglia F in g, nella sua direttrice d e in un' altra 

 generatrice l, e che interseca una generica Vi in una sua sezione piana avente un punto 

 doppio su ciascuna retta di F; i raggi proiettanti che si appoggiano a r partono dai punti 

 in cui 1' iperbolvide determinato dalle rette incidenti g, l, r interseca la curva piana del 

 quinto ordine, eccettuati i punti multipli della curva ; questi raggi sono dunque 



2.5 — 2.3 = 4. 



Ciò dimostra che delle intersezioni di con una L generica soltanto tre sono rac- 

 colte in 0. 



Ma il piano determinato dalle rette d, a è secato dalle superficie del sistema in cu- 

 biche variabili con punto triplo in G, cioè in terne di rette uscenti da 0\ ne segue che 

 in questo piano una retta del fascio (o) incontra le L in tre punti a distanza da O e 

 quindi il piano medesimo è osculatore in O alle L. Le sezioni iperpiane della V\ si- 

 tuate negli S 3 passanti per g han per imagini i piani della stella | G \ •; la linea base di 

 di \L\ individua dunque una superficie del 6° ordine resto di \G\ rispetto a \L\ e ima- 

 gine di g. 



10. È bene osservare altre particolarità della rappresentazione. Gli oc 1 raggi che ser- 

 vono a dar le imagini dei punti di una retta ì. del sistema A sono contenuti nel piano di 

 una conica di F; questo piano taglia S 3 in una corda della cubica spezzata in a e a. In- 

 versamente ad una corda di questa curva composta il procedimento della rappresentazione 

 fa corrispondere una retta X. 



