Sopra alcune varietà tridimensionali a curve sezioni del genere 3 



rette corrispondenti hanno una sola intersezione variabile con le L ; dunque le Li sono 

 monoidi con il punto quadruplo in A!. 



Mediante analoga considerazione si riconosce che il punto G' è doppio per le L'. 



Gli oo 2 piani della stella \G\, che si staccano dal sistema \L\, vengon trasformati nelle 

 co 2 quadriche passanti per la conica fondamentale e per la retta G'O' \ esse appartengono 

 al sistema \L'\ rispetto al quale hanno per resto una superficie cubica determinata dalla 

 O' 12 con punto triplo in A', cioè un cono cubico. 



Per determinare il genere del cono, cioè della C 12 , si osservi che il sistema |L'|, 

 sistema completo perchè rappresentativo di una varietà normale , determina sul cono un 

 sistema di coniche con punto doppio sul vertice , quindi determina sulle generatrici del 

 cono una serie d' ordine due e dimensioni uno , giacche il cono medesimo stacca dal si- 

 stema oo' 1 delle superficie L' una rete di superficie passanti per esso ; la serie è completa, 

 epperò il cono è ellittico. , 



Riassumendo : 



// sistema \L'\ è formato da monoidi del quinto ordine con punto quadruplo 

 in A e punto doppio in G'\ le intersezioni variabili sono curve del nono ordine; 

 la curva base si compone di una retta e una conica passanti per i due punti 

 multipli , di un altra retta uscente dal punto doppio è di una curva ellittica del 

 dodicesimo ordine con punto nonuplo nel punto quadruplo delle superficie e sem- 

 plice nel loro punto doppio. Questa curva individua un cono cubico (ellittico) che 

 stacca da \L'\ la rete delle quadriche passanti per la conica base e la retta base 

 non complanare alla conica. 



13. Finora ho supposto che la superficie doppia della varietà ha una superficie del 

 terzo ordine generale, e ho determinato il sistema rappresentativo della V% in tale ipotesi. 

 Ma vi sono altri tipi di superficie del terzo ordine appartenenti a S 4 e proiettivamente 

 distinti dalla rigata normale: tali sono il cono cubico e le superfìcie riducibili formate da 

 una quadrica e un piano ovvero da tre piani. Due varietà dotate di superfìcie doppie di 

 differenti tipi non possono essere proiettivamente identiche e quindi forniscono due 

 tipi di sistemi lineari rappresentativi birasionalmente distinti. 



Per dimostrare d' altra parte che due V\ con superficie doppie proiettivamente 

 identiche sono anch' esse identiche dal punto di vista proiettivo , si osservi che la 

 superficie doppia ammette in ogni caso oo 2 coniche ( irriducibili o riducibili) i piani delle 

 quali riempiono semplicemente lo spazio ambiente; che la superficie doppia giace sempre 

 su oo 2 quadriche (specializzate una o più volte); che quindi la V% contiene in ogni caso, 

 in corrispondenza alla congruenza dei piani delle sue coniche doppie, una congruenza di 

 rette A d' ordine uno e classe undici entro cui giacciono oo 2 rigate T del quarto ordine 

 razionali e costituenti una rete omaloidiea la quale determina su una sezione iperplanare 

 generica della Vi la rete delle quartiche canoniche. 



Ciò posto, se due varietà hanno superfìcie doppie proiettivamente identiche, la colli- 

 neazione tra gli spazi ambienti che trasforma una superfìcie doppia nell' altra determina 

 intanto una corrispondenza tra le sezioni piane delle varietà; inoltre tale collineazione tra- 

 sforma la rete delle superficie T di una varietà nella rete di superficie V dell' altra varietà, 

 e quindi la serie canonica della sezione piana di una varietà nella serie canonica della 



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