Sopra alcune varietà tridimensionali a curve sezioni del genere 3 1 1 



a) o uscire tutti e tre da una medesima retta ; 



(3) o Jue di essi giacere ciascuno con il terzo in uno spazio ordinario ; giacché 

 essi debbono appartenere allo spazio ambiente e la loro sezione in uno S 3 generico deve 

 determinare una rete di quadl'iche aggiunte alla superficie Vi contenuta in quello spazio, 

 essendo questa una superficie regolare. 



E chiaro che, in ogni caso, queste particolari superfìcie doppie della V\ sono coni ; 

 d'altra parte le Vi coni hanno una superfìcie doppia conica. Rammentando che due V\ 

 aventi le varietà doppie proiettivamente identiche appartengono ad un medesimo tipo dal 

 punto di vista proiettivo si potrà affermare che le V\ non ancora esaminate sono coni, 

 cioè varietà tridimensionali con un punto singolare dal quale proiettano una 

 V\ di Caslelnuovo di prima specie. 



17. Osservo subilo che la varietà con i tre piani doppi uscenti da una mede- 

 sima retta è generata dai piani che dalla retta proiettano i punti di una curva piana del 

 quint'ordine di genere tre, epperò essa non è una varietà razionale. Dunque posso 

 senz'altro escluderla dalle considerazioni che seguono. 



E facile riconoscere in queste Vi i soliti caratteri generali; i piani delle loro x> 2 co- 

 niche sono i piani proiettanti dal vertice le x> 2 corde della curva doppia di una sezione 

 superficiale; la rete di quadriche passanti pei- loro superficie doppie sono i coni che proiet- 

 tano dal vertice le quadriche passanti per la curva doppia di una sezione superficiale ; e 

 sono coni le superfìcie del quart'ordine T, coni proiettanti dal vertice la rete delle quar- 

 tiche canoniche di una sezione superficiale. 



Pei' riferire questi coni a uno spazio ordinario si fissi un piano dello spazio ambiente 

 non passante per il vertice, co, e si osservi che da un punto della varietà, come da un 

 punto generico dello S 4 , passa una ed una sola corda della varietà doppia che incontri 

 il piano co ; infatti per P passa il piano di una conica doppia, il qual piano incontra co 

 in un punto O ; la retta PO è la retta richiesta. Ne segue che facendo corrispondere a 

 P il punto P' in cui la retta medesima incontra lo spazio ordinario si ottiene una rap- 

 presentazione generalmente biunivoca della varietà allo S 3 . 



18. Determino i sistemi lineari rappresentativi distinguendo i vari tipi, dei coni V\ . 

 Abbia esso per superficie doppia un cono cubico razionale e P prenda per spazio rap- 

 presentativo un i$ 3 uscente dal vertice. In un S 3 la varietà delle rette che servono a rap- 

 presentare i punti della sezione superficiale in esso contenuta ha questa Vi per direttrice 

 semplice e ha inoltre la rigata del quart'ordine luogo delle corde della cubica doppia della 

 VI che si appoggiano alla retta intersezione dello S 3 con il piano co; dunque il sistema 

 rappresentativo è formato da superficie del nono ordine, L. 



Per determinare l'ordine delle curve intersezioni variabili del sistema si determini 

 l'ordine della rigata R luogo delle rette che rappresentano una generica sezione piana' 

 C° ; condotto un S 3 per il piano a della G' 5 si osservi che in codesto S 3 la R ha la C 5 

 direttrice semplice e ha inoltre la generatrice della rigata del quart'ordine (luogo delle 

 corde della cubica doppia di VI giacente nello che si appoggiano alla retta sezione 

 dello S 3 con co) che incontrano la C 5 , oltre quelle passanti per i tre puuti doppi della 

 curva, che sono doppi anche per la R ; queste generatrici sono 



L,5 - 3,L z= 8 



