Sopra alcune varietà tridimensionali a curve sezioni del genere 3 15 



per il loro punto doppio', essa giace su d'un cono cubico (ellittico) resto, rispetto 

 al sistema rappresentativo, delle quadriche passanti per la conica e la retta non 

 complanari. 



26. I sistemi rappresentativi di V\ proiettivamente distinte da quella generale si ot- 

 tengano facilmente e tutti da quelli rappresentativi dei vari tipi di V\. 



Nel sistema rappresentativo della particolare V\ non cono si tolga l' imposizione del 

 punto base isolato : il sistema risultante è di dimensione cinque, di grado sei, a curve 

 variabili di genere tre, e ad esso appartengono i piani dello spazio : è ottenuto per proie- 

 zione di una particolare V\ di S 5 generata da quattro forme collineari di seconda specie 

 e tali che i centri di due forme appartengono ad un <S 4 che è unito nella corrispondenza 

 tra le due forme medesime; quest' iperpiano contiene un piano doppio della Vi, piano 

 che è il centro della proiezione che fornisce il sistema rappresentativo indicato. 



Oltre questa non esistono che le Vi coni i cui sistemi rappresentativi si ottengono 

 da quelli dei coni Vi ; basta in essi togliere l'imposizione di una retta base uscente dal 

 punto quadruplo e situata in posizione affatto generica per ottenere evidentemente tutti i 

 possibili sistemi imagìni di VI coni. 



L' enumerazione di essi è fatta nel numero seguente. 



27. Si osservi che nei sistemi lineal i ottenuti la rete delle superfìcie di quart' ordine 

 (esistente suile varietà) che determina la seria canonica su ogni curva sezione ha per 

 invagine la stella di piani avente il centro sul punto multiplo dei monoidi. 



D' attra parte se un sistema lineare di superficie a intersezioni variabili di genere tre 

 è tale che la serie canonica di una generica curva è tagliata da una stella di piani il si- 

 stema è rappresentato da una varietà tridimensionale razionale a superficie sezioni (rego- 

 lari) di Castelnuovo e tali che per due punti di ciascuna sezione passa una ed una sola 

 quartica canonica, cioè di prima specie. 



Questa osservazione ci permette di compendiare i risultati ottenuti nel seguente enunciato. 



Uu sistema lineare semplice di superficie a intersezioni variabili di genere 

 tre sulle quali la serie canonica sia determinala da una stella di piani, o da 

 un'altra rete birazionalmente identica a una stella di piani, della dimensione r quattro 

 o cinque e grado n. 74 , e riducibile a uno dei seguenti tipi birasionalmenie 

 distinti. 



a) Monoide del quinf ord>ue con un punto doppio e linea base composta di 

 una retta e una conica passanti per i punti multipli, di una retta uscente dal 

 punto doppio e di una curva ellittica d'ordine 16 — r con punto (13—r)-plo nel 

 punto quadruplo delle superficie e semplice nel loro punto doppio. 



(3) Sistema di monoidi del quart 1 ordine {senza punti semplici isolati per r=5, 

 con un punto base semplice per r — 4) e linea base formata da una curva ellit- 

 tica del decimo ordine con punto settuplo sul punto triplo delle superficie. 



x) Sistema di monoidi del quinto ordine a cono tangente fìsso e linea base 

 composta di 15 per v=4, e 14 per r—5 rette uscenti dal punto quadrupla di cui 



