Memoria XV 



Sui gruppi non abeliani il cui ordine è potenza 

 di un numero primo dispari. 



Nota l a di VINCENZO AMATO. 



In questa prima Nota sarà fatta la determinazione dei gruppi dell'ordine p m (p pri- 

 mo dispari) aventi il centrale dell' ordine p m ~ 2 j 1 ). 



La possibilità di risolvere completamente la questione sta nel 1' applicazione dell' ana- 

 lisi del Cipolla ( 2 ) per la classificazione dei gruppi finiti : analisi che consente una prima 

 investigazione della struttura dei gruppi prescindendo da ogni esame del centrale, ma sup- 

 ponendolo noto. 



1. Dato un gruppo finito, non abeliano, G di operazioni, e detta a una di queste non 

 invariante in G, tutte le operazioni di G commutabili con a costituiscono un sottogruppo 

 Gì di G cui il Cipolla dà il nome di sottogruppo fondamentale. Quelle operazioni in- 

 varianti in Gì che sono , come I' operazione a, commutabili soltanto con le operazioni di 

 Gì diconsi le operazioni invarianti proprie di O u e formano un sistema li detto fonda- 

 mentale o un sistema di G r II gruppo G avrà perciò un certo numero t — j— 2 di sotto- 

 gruppi fondamentali 



Gì, G % , . . . , G x _|_ 2 



e si dice del tipo ~. 



Le operazioni invarianti in G costituenti il centrale /, di G sono tutte contenute in 

 ogni sottogruppo fondamentale. I centrali dei 'sottogruppi fondamentali di G diconsi i sot- 

 togruppi abeliani fondamentali di G. 



Premesso questo e supponendo G dell' ordine p m (con p primo dispari), avente il cen- 



l 1 ) BURNSIDE {Theory of groups of finite arder, Cambridge, at the University Press, 191 1 , pag. 136) 

 considera i gruppi dell'ordine p m che contengono un sottogruppo invariante ciclico dell'ordine p ìll ~ 2 . Quelli 

 in cui un sottogruppo ciclico dell'ordine p m ~ 2 è invariante in un sottogruppo abeliano dell' ordine p"' — 1 e 

 del tipo (m — 2, 1) sono stati studiati dal Miller (Transactions of the Americ. Math. Soc, voi. 2, 1901, 

 p. 259) che successivamente ha determinato i rimanenti gruppi dell' ordine p" 1 (m > 4 se p è dispari ed 

 m—s se p=2) che contengono un sottogruppo ciclico dell'ordine p m ~ 2 (On the groups of order p m 

 which contatti operatore of order p m ~ 2 , Transact. ecc. voi- 3, 1902, p. 383). Cfr. anche la Nota dello 

 stesso Autore: The groups of order 2" 1 which contain an invaria.nl cyclic subgroup of order 2 m ~ 2 , Bul- 

 , lettin of the Amer. Math. Soc. voi. 11 (1905), pag. 494. 



( 2 ) Cipolla, Stilla struttura dei gruppi d'ordine finito, Rend. della R. Accad. delle Scienze fis. e mat. 

 di Napoli, voi. XV 3 (1909) p. 44 (Nota l) e pag. 113 (Nota II); voi. XV1I 3 (1911), p. 223 (Nota 111); vo- 

 lume XV1H3 (1912) , p. 29 (Nota IV). Cfr. anche le tre Note pubblicate dallo stesso Autore nei Rend. della 

 stessa Accad. dal titolo: I gruppi finiti dei pi imi tre tipi (voi. XX 3 , 1914). 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XIII — Mem. XV. 



