Sui gruppi non abeliani il cui ordine è potenza di un numero ecc. 



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Intanto il gruppo G è del tipo p — 1. Infatti, i suoi sottogruppi fondamentali dovendo 

 contenere J , che è dell'ordine p m ~ 2 , sono tutti dell'ordine p m ~ l e inoltre debbono coin- 

 cidere coi loro centrali che sono dello stesso ordine. Sicché questi sottogruppi fondamen- 

 tali sono tutti abeliani, e allora si dimostra facilmente ( 3 ) che ognuno *di essi è costituito 

 dal centrale di G e dalle operazioni invarianti proprie del sottogruppo stesso che sono 

 perciò in numero di p m ~ l — p m ~ 2 . Detto x il numero dei sottogruppi fondamentali, deve 

 quindi aversi : 



pm _ ptn - 2 _J_ x (pm - i _ p m - 2) ^ 



donde segue : 



x = p -{- l . 

 Se si osserva infine che le operazioni 



oS, aP 2 , . . . . aB" -1 



debbono appartenere a sottogruppi fondamentali diversi, si ha il seguente risultato: 



/ gruppi dell' ordine p m aventi il centrale J dell' ordine p m-2 sono del tipo 

 p — 1 e rappresentabili coi seguenti sottogruppi fondamentali abeliani: 



I Gì =J + a.J + « 2 .Jo+ • • • . J 



(3) G 2 =J + P • Jo+ P 2 .Jo+...+P^ • Jo 



( = Jo+ (a? 1 ) J + (ap? J + • • • + («P^- 1 Jo (/ = 1, 2, . . . , p - 1) 



2. Supponiamo che 1' operazione a sia canonica ( 4 ), cioè tale che il prodotto di essa 

 per qualsiasi operazione di J sia di grado non minore di a e che P sia stata scelta fra 

 le operazioni fuori di G\ di minimo grado. Anche [3 sarà allora canonica e detto p h il 

 il grado di a e p k quello di fi sarà: h > k. 



I) Sia h = k= 1. Ne segue: 



(4) a p = $ p = e p = 1, ap=:é>.f3a 



Se denotiamo con x v il numero degl' invarianti eguali a p v , si deve avere : 



(5) Xi + 2x, -f- 3x 3 -f . . . + (w - 2) x m _ 2 = m - 2 . 



Denotando con M il numero delle soluzioni (intere positive) di questa equazione, sono 

 da considerarsi M possibili gruppi J . Consideratone uno , pienamente definito dalla solu- 

 zione (Xi , x 2 , . . . , x m _ t ), [che indichiamo con (x)] e denotato con E{x) il numero 

 dei termini non nulli della soluzione stessa , sono da farsi È(x) ipotesi per V operazione 



(*) Ctr. Cipolla, I. c. (•), Nota 1. 



(*) CIPOLLA, / gruppi finiti dei primi Ire tipi, NOta !. 



