D. S8a Rosaria Abbia 



[Memoria III. J 



Il risultato definitivo della nostra ricerca può riassumersi nel seguente enunciato : 

 / tipi di trasformazioni di tersa classe non involntorie, sono: 



1) trasformazione del grado 6, con 2 punti fondamentali tripli , 4 doppi e 

 3 semplici in ciascun piano, e con cubica unita passante con un ramo per tutti 

 i punti fondamentali ; 



'2) trasformazione del grado 5, con 1 punto fondamentale triplo,-^- doppi e 

 3 semplici in ciascun piano, e conica unita passante con un ramo per il punto 

 fondamentale triplo, per due doppi ed uno semplice di ciascun piano ; 



3) trasformazione di grado 5 con 6 punti fondamentali doppi , e conica 

 unita passante con un ramo per quattro punti fondamentali di ciascun piano. 



4) trasformazione del grado 4, con 3 punti fondamentali doppi e 3 semplici, 

 e retta unita passante per un punto fondamentale doppio ed uno semplice di 

 ciascun piano ; 



5) trasformazione del grado 5, con 1 punto fondamentale triplo, 3 doppi e 

 3 semplici, e conica unita passante con un ramo per il punto fondamentale tri- 

 plo, per uno doppio e per i tre semplici di ciascun piano ; 



6) trasformazione del grado 4 , con 3 punti fondamentali doppi e 3 sem- 

 plici, e retta unita passante per i punti fondamentali semplici dei due piani ; 



7) trasformazione del grado 5 con un punto fondamentale triplo , 3 doppi 

 e 3 semplici e conica unita passante con un ramo per i tre punti fondamentali 

 doppi e per due semplici di ciascun piano ; 



H) trasformazioni del De Jonquières : del 3° grado senza curva unita, op- 

 pure del 4° grado con retta unita passante per 3 punti fondamentali semplici di 

 ciascun piano , oppure del 5° grado con conica unita passante con un ramo per 

 il punto fondamentale quadruplo e per quattro semplici di ciascun piano. 



In un prossimo lavoro faremo vedere come la teoria delle trasformazioni di terza 

 classe si possa riallacciare a quella della superficie del terzo ordine, rappresentando que- 

 sta sopra un piano in due maniere distinte , ed esaminando la trasformazione del piano 

 in se stesso, che ne risulta. 



CAPITOLO I. 

 Generalità. 



§ 1. — Alcuni teoremi sulle trasformazioni di Cremona nel piano, 

 contenenti una curva unita. 



1. — Si abbia un piano riferito a se stesso biunivocamente , mediante una trasfor- 

 mazione cremoniana di grado n. Le coordinate di un punto di questo piano le indiche- 

 remo con x i x 2 x 3 , o con y i v 2 y 3 secondo che vien riguardato il punto come apparte- 

 nente al piano dato E x o al trasformato E v . 



Le equazioni della trasformazione siano : 



Xi = (pi (y { , y. 2 , y 3 ) ) 



(*'— 1,2,3) 



yi = h (x lt x 2 , x 3 ) j 



le q> e le f |> essendo funzioni razionali intere di grado n nelle rispettive variabili. 



