Le trasformazioni cremoniane piane di terza classe, ecc. 



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Sia h il numero dei punti fondamentali di ciascun piano, e siano essi punti indicati 

 con l, 2, ... h in ogni piano. Sia r, la multiplicità del punto fondamentale i di E,., ed 

 s t quella del punto i di E y , ed 



>\ > r 2 > r 3 > . . . > r h 



Si > S, > S s >. . . . > S/, . 



Ammettiamo che i due sistemi di punti fondamentali siano in posizione generica , 

 cioè che in uno stesso punto non coincidano punti fondamentali dello stesso piano o di 

 piani diversi. 



Dalla teoria generale delle trasformazioni cremoniane piane , applicata ai due piani 

 dati, seguono le seguenti formule : 



2 /'« 



i 



= 3 (u-l) 



2 s k 



k 



= 3' 



[«— l) 



V ì 



i 



= il 2 — 1 



2 si 



h 



= //'* 



- 1 



3^ — 1 





35 ft — 1 



= S 



t 





nr, 





n . s H 



= s 







= S«rt «7; 



Su s k 



= 2] 





ove a^ s indica la multiplicità della curva fondamentale S h di Zf, (corrispondente al punto 

 fondamentale & di it,,) nel punto fondamentale / di E,,. , ovvero la multiplicità della curva 

 fondamentale R t di E y (corrispondente al punto i di E,,) nel punto k di E y . 



2. — Sia Al,, una curva del piano E x di ordine jx, le cui multiplicità nei punti fon- 

 damentali di E a- indichiamo con p, p 2 ... p /( . A questa curva corrisponda in virtù della 

 trasformazione una curva M y nel piano E y dello stesso ordine ji (escludendo le curve 

 fondamentali che da essa si sono staccate) e questa abbia nei punti fondamentali di E y 

 le multiplicità a t , o 2 ; . . a h . In particolare può M y coincidere con AI,., ed inoltre ciascun 

 punto di M x restare invariato nella trasformazione. La curva Al, corrispondente a se stessa 

 punto a punto, la chiameremo curva fìssa. 



Una tale curva conterrà necessariamente dei punti fondamentali, che sono i corrispon- 

 denti nella trasformazione, dei suoi punti d' incontro con curve fondamentali. 



Sia // un punto fondamentale di E y (corrispondente alla curva fondamentale S h di E x ) 

 posto sulla curva unita : esso è un punto ordinario di E x e poiché sta sulla curva unita, 

 ha per corrispondente se stesso. Ma tutti i punti di E ,. i cui corrispondenti in E y coinci- 

 dono con li stanno su S h , quindi S u passa per //. 



Non basta, // è punto semplice di .S /( , perchè se fosse multiplo, sarebbe punto fon- 

 damentale di E x . (S/j non ha punti multipli fuori dei punti fondamentali di E x ) e si avrebbe 

 in // sovrapposizione di punti fondamentali dei due piani. 



Inoltre la curva fondamentale S h non può passare per alcun altro punto fondamen- 

 tale di E,j posto sulla curva AI. Sia infatti i uno di detti punti : si osservi che i con- 



