4 



D. sm Rosaria Abbia 



I Memoria III.] 



siderato come appartenente ad E x è punto ordinario e poiché sta su M ha per corrispon- 

 dente se stesso. Ma esso giacendo ancora sulla S h , deve pure corrispondere al punto h. 

 Ad un punto ordinario di E x vengono così a corrispondere due punti distinti di E, n il 

 che è impossibile. Segue il seguente : 



Teorema I. -- Le curve fondamentali die corrispondono a punti fondamentali 

 posti sulla curva fìssa , passano con un ramo per i punti fondamentali ad esse 

 corrispondenti , e non passano per nessun altro punto fondamentale dell' altro 

 piano, posto sulla curva fissa. 



Da questo teorema, tenendo conto dell' osservazione del Bertini : « La curva fissa 

 passa per un punto fondamentale con un numero di rami minore o uguale al 

 numero dei rami con cui vi passa la curva fondamentale coi rispondente » segue 

 ancora 1' altro : 



Teorema II. — La curva fìssa passa con un ramo per i punii fondamentali 

 posti su di essa. 



3. - - Una curva fondamentale S h incontra la curva fissa M o in punti ordinari , o 

 in punti fondamentali di E, . Dei primi fa parte il punto li. Qualunque altro punto d' in- 

 contro /', ordinario per E y , deve contemporaneamente corrispondere ad li ed a se stesso, 

 quindi tutti i punti comuni ad S,, e ad M, che non siano punti fondamentali di E x , sono 

 raccolti in //. Segue : 



Teorema — La curva dei punti uniti incontra la curva fondamentale S h sol- 

 tanto in punti fondamentali di E A , e se occorre anche nel punto fondamentale 

 h di E y . 



4. — Possiamo dedurre per l'ordine |jl della curva unita un limite superiore , riflet- 

 tendo che tale curva fa parte del luogo generato da due fasci proiettivi di curve. Si os- 

 servi a tal uopo che se r i r„ r 3 r. f sono le multiplicità dei quattro punti fondamentali del 

 massimo ordine, si ha com' è noto : 



>\ -\- r., j- r., > u 



quindi : 



>\ + r ì -f- r -6 > 11 4" 1 



ed essendo > I, segue: 



-f r % 4- r 3 + 1\ > // + 2 



e se è 7j > : 



>\ + ''2 + ? ' 3 + >' > — » + 2 + r i ■ 



Ma ad una conica passante per questi quattro punti fondamentali corrisponde una 

 curva dell'ordine In — ;/ — 2 — */] = n — 2 — r ( , ed il luogo generato dal fascio di co- 

 niche e dal fascio di curve corrispondenti è dell'ordine 11 — vj. Segue : 



Teorema — Se yj indica V eccesso della somma delle multiplicità dei quattro 

 punti fondamentali del massimo ordine sul numero n -j- 2 , la curva fissa pu^ò 

 al massimo essere dell'ordine n — yj ove ?l->0. 



