Le I ras/orinazioni cremoniane piane di tersa classe, ecc. ^> 



II ragionamento fatto suppone che la trasformazione di cui si tratta abbia almeno 

 quattro punti fondamentali, cioè che sia n > 2. Ma se fosse n — 2 il teorema continue- 

 rebbe a sussistere , nel senso che 1' ordine della curva fissa sarebbe sempre 11 — "1 con 



n > 0. 



5. — In una trasformazione del De Jonquières di grado // , i due fasci di raggi 

 aventi rispettivamente i centri nei punti fondamentali {n — Dpli dei due piani, sono proiet- 

 tivi, e generano mediante le intersezioni di due raggi corrispondenti , una conica. Segue 

 che se la trasformazione contiene una curva unita, questa non può essere di or- 

 dine maggiore di 2. 



Inversamente : data una conica , si può sempre costruire una trasformazione del De 

 Jonquières che abbia questa conica come curva unita. 



Infatti, sia C s una conica arbitraria del piano, P, e P,, due punti di essa. 



Si considerino due curve G ed F dell'ordine // — l, aventi rispettivamente un punto 

 (n — 2)plo in P, e P r Tra i punti delle due rette che congiungono un punto arbitrario 

 P di C 2 con P, e P y stabiliamo una corrispondenza proiettiva, coordinando a P se stesso, 

 a P r V ulteriore punto d' incontro della congiungente PP,, con la curva F (oltre P y ) , ed 

 a P,j 1' ulteriore punto d' incontro del raggio PP, con la curva G (oltre P, ). Così resta 

 stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano : dato un punto Q,. per esso 

 passa un raggio del fascio di centro P, a cui corrisponde quel raggio per P,, che lo ta- 

 glia sulla conica C°~ ; il corrispondente di Q, nella proiettività tra questi due raggi è il 

 corrispondente punto Q y dell' altro piano. E viceversa. 



I punti della C 2 sono uniti. 



La trasformazione è del tipo De Jonquières, poiché ai raggi del fascio di centro P, 

 corrispondono quelli del fascio di centro P y ; P, e P y sono i due punti fondamentali 

 (u — l)pli. 



6. - - La conica C 2 generata dai due fasci proiettivi di raggi aventi i centri nei punti 

 fondamentali (// — l)pli di una trasformazione del De Jonquières, può scindersi in due rette, 

 delle quali una soltanto sia fissa, e l'altra sia semplicemente corrispondente a se stessa. 

 Due casi sono possibili: la retta fissa passa per i punti fondamentali (u — 1 )pli , non 

 vi passa. Diamo le due costruzioni. 



Quanto alla prima, fissiamo nel piano due punti P x e P, n una curva d'ordine // — l, 

 7" con un punto [n — 2)plo in P y e passante per P x \ ed una curva d'ordine // — 1, / con 

 un punto (;/ — 2)plo in P, e passante per P y . Diciamo r la retta P, Py, g una retta non 

 passante nè per P r nè per P, n e g una curva d'ordine // con un punto (n — 1 )plo in P v 

 che passi per il punto ove g taglia r. 



Ciò posto, riferiamo il fascio di rette P x prospettivamente al fascio di rette P v pren- 

 dendo g come asse di prospettiva ; e se in questa prospettivività alla retta m del primo 

 fascio corrisponde la retta 111 del secondo fascio , stabiliamo tra ed Wl la proiettività 

 che fa corrispondere : 



1) al punto P , di m l' intersezione di /// con f diversa da P„ : 



2) all' intersezione di ;// con j, diversa da P x , il punto P y di m ; 



3) all'intersezione di /// con g, l'intersezione di ///' con g diversa da P y . 



