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D. ssa Rosaria Abbia 



[Memoria III.] 



Le infinite proiettività stabilite fra le rette dei fasci P., : e P !/ danno luogo a una tra- 

 sformazione del piano in sè stesso, che soddisfa a tutte le condizioni volute. 



Infatti essa è una trasformazione di De Jonquières , perchè muta il fascio di rette 

 I\ x nel fascio di rette P, n e sulla retta r subordina l'identità, perchè, per le ipotesi fatte 

 e per la costruzione indicata : 



1) al punto P x di r corrisponde l'intersezione di r con j", diversa da P, n cioè lo 

 stesso punto P , ; 



2) al punto P u corrisponde, per una ragione analoga, lo stesso punto P u ; 



3) al punto rg infine, corrisponde il punto stesso, perchè g passa per esso. 



7. — I fasci di raggi, aventi i centri nei punti fondamentali (// — 1 )pli, siano prospet- 

 tivi ad una retta non passante per P, e P, n e la P, P u sia solamente corrispondente a 

 se stessa. 



Per la costruzione , in questo caso , possiamo ripetere un ragionamento analogo a 

 quello fatto nell' articolo (5) , fissando tra i raggi per P x e P y una prospettività anziché 

 una proiettività generale. L'asse di prospettiva è la retta fissa della trasformazione. 

 Le considerazioni fatte nei precedenti articoli ci conducono al seguente : 

 Teorema — Una trasformazione di De Jonquières di ordine arbitrario , con 

 punti fondamentali (n — Dpli non coincidenti può contenere una curva fissa , e se 

 la contiene essa è di ordine non maggiore di due. 



§ 2. — Il sistema delle curve isologiche. 



8. — Scelto sul piano un punto fisso 0{o l o ì o 3 ) , si considerino le coppie di punti 

 corrispondenti P x P v le cui congiungenti passano 0. Il luogo dei punti P x e quello dei 

 punti P y che godono la detta proprietà, li chiameremo curve isologiche (*) relative al 

 punto 0, e li indicheremo rispettivamente con J x e /„ . 



Le equazioni di queste curve sono : 







°2 



o. 





J, = 





x t 





= 







^, (x) 



'h (x) 











o. 





Ju = 



-V, 





y» 



= 





r -pi (y) 



<p, (y) 



cp 3 (y) 





Queste curve sono quindi del grado n .-J- 1, passano per 0, e si corrispondono l'una 

 all' altra nella trasformazione. 



Le curve isologiche relative a tutti i punti di ciascun piano , formano una rete : in- 

 vero per due punti P x e P x , arbitrariamente dati passa soltanto la curva isologica relativa 



c :t ) De JONQUIÈRES — Nuovi annali di matematica. 2 a Serie. Tomo III, 1863. 



