Le trasformazioni cremoniane piane di tersa classe, ecc. 



al punto comune alle congiungenti ciascuno di due punti dati rispettivamente con i 

 corrispondenti P y e P y , dell' altro piano. 



Tutte le curve isologiche di un piano passano : 



1) per tutti i punti P(x\ x 8 x 3 ) del piano che corrispondono a se stessi, per i 

 quali hanno luogo contemporaneamente le : 



■V, <f> 2 - 4>! = , X, <|> 3 - X a ^ = , X, ^ - X 3 ^ = , 



x i (p 2 — Xj cp, = , x 2 cp 3 — x 3 q? s = , x t <p 3 — x 3 (p, = , 



ove le q> e le $ sono espresse in .v ; 



2) per ciascun punto fondamentale del proprio piano , e con tanti rami quanti ne 

 comporta il suo ordine. (Questa proprietà si rileva dal comportamento delle curve (p,=0, 

 4», = nei punti fondamentali). 



Se la trasformazione contiene una curva fissa, è evidente che questa si stacca da ogni 

 curva isologica, mentre le rimanenti curve isologiche formano una rete. Le curve isolo- 

 giche da cui s' è già staccata la curva fissa passano ancora per i punti fondamentali i di 

 E x con r, — p, rami, e per quelli di E y con 5, — a, rami (0 <T p, <T l, <T a, < 1). 



§ 3. — Curva N. Classe di una trasformazione. 



9- — Se il centro di isologia si muove sopra una retta P { P 2 , ciascuna curva 

 J x , J v descrive un fascio. L'asserzione è subito dimostrata, introducendo le coordinate di 

 un punto della congiungente P i P z nell'equazione della curva isologica. E poiché le curve 

 isologiche dei due piani si corrispondono , i due fasci sono anche riferiti proiettivamente 

 1' uno all' altro. Essi dunque generano mediante le intersezioni di due curve corrispondenti, 

 una curva dell'ordine 2 (n -\- 1): questa contiene: 



1) la congiungente P l P t , poiché su essa si tagliano due curve corrispondenti; 



2) tutti i punti uniti ; 



3) tutti i punti che sono allineati con i due corrispondenti , quando si considerano 

 appartenenti contemporaneamente ai due piani. 



11 luogo di questi punti lo chiameremo col Prof. Guccia (*), curva N. 

 Se la trasformazione non contiene curva fissa , la curva N è dell' ordine 2n -f- 1 ; 

 difatti la sua equazione è : 











<p 3 (5) 



= 



h (5) , 'h (5) , 







Questa mostra che la curva N passa per ogni punto fondamentale dell' uno e del- 

 l' altro piano con una multiplicità uguale al suo ordine. 



Se la trasformazione contiene una curva fissa dell'ordine |a, le curve isologiche sono 

 dell'ordine n -J- 1 — |i , il luogo generato dai due fasci proiettivi di curve isologiche , re- 



(*) G. GUCCIA — Rendiconti del Circolo matematico 1884-87. 



