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D. ssa Rosaria Abbia 



[Memoria III.] 



Vogliamo studiare quali sono i tipi a cui conducono queste tre alternative, ed esclu- 

 diamo che si tratti di una trasformazione del De Jonquières, perchè per una tale trasfor- 

 mazione, la discussione è subito esaurita dal seguente teorema : 



Una trasformazione del De Jonquières è della tersa classe quando e solo 

 quando è del terso ordine e non ha curva fìssa, oppure è del quarto ordine ed 

 ha una retta fissa, oppure è del quinto ordine ed ha una conica fissa. 



14. - 1) Nel 1° caso indicando con S(r,) la somma delle multiplieità dei punti fon- 

 damentali per i quali passano tutte le curve isologiche del piano , poiché ad una curva 

 isologica ne corrisponde nell'altro piano una dello stesso ordine, si ha: 



S(r,) = 4 (fi — 1) 



il che è impossibile perchè il massimo valore di S (/',) è 3 {n — l). 



15. - - 2) Il 2° caso comprende tre sottocasi che corrispondono al passaggio delle 

 curve isologiche con due rami per uno, due o tre punti fondamentali. 



Il 1° sottocaso deve essere escluso. 



Infatti indichiamo con r,, la multiplieità di quel punto fondamentale per cui le curve 

 isologiche passano con due rami , e con a (r,) la somma delle multiplieità di quei punti 

 fondamentali per cui le curve isologiche non passano. Avremo, sempre per il fatto che 

 le due curve isologiche corrispondenti sono dello stesso ordine : 



4 = 4// — 2r d — | S r, — r d — a (/-,) | , 

 ma 2 1\ = 3 (// — 1) , quindi : 



i 



n — 1 = r d — a (•/-,) . 



Ala le trasformazioni del De Jonquières essendo escluse : 



r d < n - - 1 

 dunque : a (/-,) < 



relazione assurda. 



Quanto al secondo sottoeaso , prima di passare all' esame di ciascuna delle ipotesi 

 possibili , si osservi che vengono a priori escluse le prime cinque e la settima delle tra- 

 sformazioni date dal quadro dell'articolo 12. Per renderci ragione di questa asserzione, 

 fermiamoci, per esempio, all' esame della prima trasformazione : 



n = 10, 1 punto fondamentale sestuplo, 7 tripli in ciascun piano. 



Uno dei punti doppi delle curve isologiche può o no coincidere col punto fondamen- 

 tale sestuplo. Se vi coincide, per 1' osservazione fatta alla fine dell'articolo 8 del § 2 del 

 Cap. I, la curva unita passa con quattro rami per il punto fondamentale sestuplo; se non 

 vi coincide , cioè se le curve isologiche passano per il punto fondamentale sestuplo con 

 un ramo o se non vi passano affatto, la curva unita vi passa con cinque o sei rami. 



In ogni caso il comportamento della curva unita in detto punto fondamentale con- 

 duce ad una contraddizione del teorema II dell'art. 2 del precedente capitolo. 



Anche la seconda trasformazione : 



n — 8 , 7 punti tripli, 



viene esclusa. 



Difatti se le curve isologiche passano con 2 rami per due punti fondamentali tripli , 



