Le trasformazioni cremoniane piane di tersa classe, ecc. 



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passeranno con un ramo o non passeranno affatto pei rimanenti punti fondamentali. Ma 

 per la citata osservazione dell'art. 8 del § 2 del precedente capitolo, la curva unita deve 

 allora passare con due rami per tali rimanenti punti , e si contraddice il teorema II del- 

 l' articolo 2. 



Per analoghe ragioni vengono escluse le altre trasformazioni. 



Passando poi per le rimanenti trasformazioni del quadro dato , all' esame delle varie 

 ipotesi possibili , e tenuto sempre conto del fatto che le curve isologiche corrispondenti: 

 dei due piani sono dello stesso ordine, si hanno le seguenti relazioni : 



4 (n—l) = 2r t + 2r 2 -f r, -f .... + r t 

 4 (»— l) = 2r i -f 2r ì + r 3 + -f r, 

 4 («-!)== ir, + 2r 8 + r 3 -f- .... -f r 6 



4(w-l) = 2r, + 2r 2 , 



ove con r, , r 2 indichiamo le multiplicità di quei punti fondamentali per cui le curve iso- 

 logiche passano con due rami, e con r s , r 4 ... r 8 le multiplicità di quei punti fondamen- 

 tali per cui le curve isologiche passano con un ramo. Poiché la prima di queste relazioni 

 suppone l'esistenza di almeno otto punti fondamentali, nessuna delle rimanenti trasforma- 

 zioni del quadro precedente la verifica, le rimanenti relazioni sono verificate dai seguenti 

 tipi di trasformazioni : 



n=à, 2 punti tripli, 4 doppi, 1 semplice j 



n=5, 1 punto triplo, 3 doppi, 3 semplici per 4 (n— 1 ) = 2i\ -f- 2r 2 -J- r 3 -\~ . . . -j- r 6 

 n=5, 6 punti doppi ; 



ed : 



n=4, 3 punti doppi, 3 semplici, per 4 (« — l) = '2r t -\~ 2r 2 -\- r. 3 -j- . . . -j- r 5 . 



Nel terzo sottocaso la rete delle curve isologiche può ancora soddisfare ad altre tre 

 condizioni al massimo. 



Come prima , esaminando separatamente le varie ipotesi , si trovano possibili le se- 

 guenti trasformazioni : 



u =■ 5, 1 punto triplo, 3 doppi, 3 semplici, per 2r i -j- 2r, 2 -j- 2r 3 -\- r 4 = 4 (n — 1), 

 ed : 



// = 4, 3 punti doppi, 3 semplici, per 2)\ -j- 2r. 2 -f- 2r 3 = 4(n — 1) . 



16. — 3) In questo caso la rete delle curve isologiche oltre al punto base triplo 

 coincidente con un punto fondamentale del proprio piano , può ancora avere altri sei (al 

 massimo) punti base semplici in punti fondamentali. 



Esaminando anche qui le varie ipotesi, si trova possibile la seguente trasformazione : 

 n = 5, I punto triplo, 3 doppi, 3 semplici, per 3/', -f- r 2 -J- r 3 -f- r 4 -j- r 5 = 4(/i — 1). 



