Le trasformazioni cremoniane piane di tersa classe, ecc. 



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e possiamo supporre che il fascio (1) sia il trasformato del fascio di rette di centro t i , 

 e quindi il fascio (2) il trasformato del fascio di rette di centro /, . Come è chiaro ogni 

 retta del fascio t i o del fascio t 2 taglia la cubica unita negli stessi due punti mobili in 

 cui questa è tagliata dalla cubica corrispondente del fascio (1) o del fascio (2). 



19. — Ciò posto , cerchiamo di invertire le considerazioni precedenti : in tal modo 

 dimostreremo l'esistenza effettiva della nostra trasformazione, e nel tempo stesso ne as- 

 segneremo la costruzione. 



Prendiamo in un piano una cubica generica C 8 (di genere 1) e fissiamo su di essa 

 sei punti generici t 4 , t.,, S 4 , 8 2 , 8 3 , ò 4 . I due fasci di cubiche: 



(1) (V - 2 ft i 8* h &*) 



(2) (t, v 8, 8 2 8 3 8J 



tagliano sulla C 3 due serie lineari semplicemente infinite di coppie di punti , o , come di- 

 cesi, due g l 2 ; e, com'è noto, ognuna di queste g l s può pure ottenersi tagliando la C 3 

 con le rette uscenti da un suo punto. Ebbene, sia /, il punto di C 3 che dà luogo , nel 

 modo ora chiarito, alla g i i generata dal fascio (1), e /, quello che dà luogo alla g i 2 ge- 

 nerata dal fascio (2); chiamando omologhe una curva del fascio (1) [del fascio (2)] ed 

 una retta del fascio t { (del fascio /.,) quando segano la C 3 negli stessi due punti mobili, 

 è chiaro che tra le due coppie di fasci vengono stabilite due projettività. 



Adesso, preso un punto generico P , del piano, si considerino le rette dei fasci t i e 

 t t passanti per esso , e si chiami P y L' intersezione delle cubiche ad esse corrispondenti 

 nei fasci (1) e (2) che non cade nei punti base: la corrispondenza tra P, e P y così de- 

 finita è appunto una trasformazione cremoniana del sesto ordine e della terza classe, del 

 tipo voluto. 



In essa infatti ogni retta del piano viene mutata in una sestica con due punti tripli 

 in T lt "., , e quattro punti doppi in o t , b 2 , 8 3 , 8 4 . La cubica C ? ' è unita punto per punto. 



Chiamando e il terzo punto d'incontro della congiungente t l t 2 con la C 3 , osserviamo 

 che esso corrisponde alla retta t i t 2 del piano E , . 



Inoltre e è punto base del sistema di sestiche. Invero ogni retta r del piano incon- 

 tra la /, f 2 in un punto che ha come corrispondente il punto e : la sestica corrispondente 

 ad r passerà quindi per £ . 



20. — La costruzione data non cade in difetto se la curva unita è una cubica no- 

 dale, perchè i due fasci di cubiche ausiliarie (x," r 2 o, 8 2 8 3 ò 4 ) , (x i t 2 2 8 ( ò 2 8 3 8 4 ) determi- 

 nano sulla cubica nodale due g i 2 per ciascuna delle quali il punto doppio costituisce un 

 gruppo di due punti, ed in tal caso ciascuna delle g A 2 può ottenersi segando la curva con 

 le rette uscenti da un suo punto. Per persuadersi di quest' ultima asserzione', si osservi 

 che: ogni C 3 piana nodale può ottenersi per proiezione di una f sghemba, da un punto 

 ad essa esterno 0. Il punto doppio di C 3 è traccia della corda (unica) di f passante per 0. 

 Ciascuna delle oc'~ rigate quadriche passanti per j 3 , determina su questa curva una g i ì . 

 Si consideri tra queste rigate, una di quelle ( oc 1 ) che hanno per generatrice la corda di 

 j 3 passante per 0. Proiettando allora da 0, si riconosce subito che la g l 2 segnata su f 

 dalla rigata, dà luogo sulla C 3 ad una g A 2 segnata dalle rette uscenti da un suo punto. 



