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[Memoria III . J 



21. — Si voglia ora costruire la trasformazione del quinto ordine con un punto fon- 

 damentale triplo, tre doppi e tre semplici. 



Suppostala esistente, in essa la rete delle curve isologiche ha un punto base doppio 

 nel punto fondamentale triplo , ed uno in un punto fondamentale doppio, e quattro punti 

 base semplici nei rimanenti punti fondamentali doppi e in due semplici. 



La curva unita è quindi una conica passante con un ramo per il punto fon- 

 damentale triplo, per due doppi ed uno semplice di ciascun piano. 



Chiamiamo t e t i punti fondamentali tripli dei due piani, 8,,& 8 ,8 3 ., d i ,d 2 ,d. J i 

 punti fondamentali doppi (dei quali '^ l ,h. 2 ,d l ,d 2 giacciono sulla conica unita) e t ,e a ,& l ^ 

 e.,,e z i punti fondamentali semplici (£ 3 ,£ 2 , e 3 ,e t stiano sulla conica). Il fascio di rette di 

 centro t viene mutato nella trasformazione in un fascio di coniche passanti con un ramo 

 per il punto fondamentale triplo e per i tre doppi. 



Inoltre il fascio di raggi di centro d l viene mutato in un fascio di cubiche passanti 

 con due rami pel punto fondamentale triplo e con un ramo per i punti fondamentali doppi 

 e pei' due semplici. Indichiamo questi due fasci con : 



Ogni retta del fascio / (o del fascio d { ) taglia la conica unita in quello stesso punto 

 in cui essa è tagliata dalla conica corrispondente del fascio (1), (o dalla cubica corrispon- 

 dente del fascio (2) ). 



22. — Cerchiamo adesso di invertire le considerazioni fatte, allo scopo di dimostrare 

 la esistenza della trasformazione e di darne la costruzione. Sopra una conica C 2 del piano, 

 fissiamo i punti generici t, 8 1S ò>, e t , t , d i e fuori di essa due altri punti \, e 2 . Conside- 

 riamo il fascio di raggi di centro /, ed il fascio di coniche (t 8 4 8 2 8 S ) ; chiamando omo- 

 loghe una conica di questo fascio ed una retta del fascio t quando segano in uno stesso 

 punto la conica C 2 , viene chiaramente stabilita tra i due fasci una proiettività. 



Similmente considerando il fascio di raggi di centro d i ed il fascio di cubiche 

 (t 2 8j Sa 8 3 e L £ 2 ), e chiamando omologhe una cubica ed una retta che passino per uno 

 stesso punto di C\ viene anche qui stabilita una corrispondenza proiettiva tra i due fasci. 



Per un punto F x del piano passano due raggi dei fasci t e d i , ai quali corrispon- 

 dono una conica ed una cubica che avranno fuori dei punti fondamentali un punto P y 

 comune : assumeremo il punto P y come corrispondente di P rc . 



E viceversa. 



La corrispondenza così definita è una trasformazione cremoniana del quinto ordine 

 e del tipo voluto. Infatti per essa ogni retta del piano viene mutata in una quintica con 

 un punto triplo in t, tre doppi in 8 4 , 8 2 , 8 3 , e due semplici in £ 15 £ 2 . La conica C 2 è unita. 



E poiché i due piani vengono riferiti punto a punto , al punto comune a due rette 

 corrisponde un unico punto, quello comune (fuori dei fondamentali) alle due quintiche cor- 

 rispondenti : segue che il sistema di quintiche deve ancora avere un punto base sem- 

 plice e 3 . 



23. — Ci occuperemo adesso della trasformazione del quinto ordine con sei punti 

 fondamentali doppi in ciascun piano. Ammessane 1' esistenza , in essa la rete delle curve 



(1) 



(~ S °2 \) 



(2) 



(x- Oj o, ò s e l £,). 



