Le trasformasioni cremonìane [nane di tersa classe, ecc. 



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isologiche ha due punti base doppi in due punti fondamentali del proprio piano, e quattro 

 semplici nei rimanenti punti fondamentali. 



La curva unita è perciò una conica passante per quattro punti fondamentali 

 di ciascun piano. 



11 fascio di raggi avente il centro in uno dei punti fondamentali doppi di ciascun 

 piano viene mutato in un fascio di cubiche avente un punto base doppio in uno dei punti 

 fondamentali doppi dell' altro piano ed un punto base semplice in ciascuno dei rimanenti 

 punti fondamentali doppi. 



Indicando con d l , d 2 , d 3 , d i , d 5 , d 6ì ò l , 8 2 , 8 3 , 8 4 , 8 5 , 8 6 , i due sistemi di punti fonda- 

 mentali , possiamo supporre che il fascio di raggi di centro d t venga mutato nel fascio 

 di cubiche : 



(1) (8, 2 8 2 8 3 8 4 8. 8 6 ) 

 ed il fascio di raggi di centro d, nel fascio di cubiche 



(2) (8 , 8 2 2 83 ò. ( 8 5 8 6 ) . 



Supposto che d ì , d 2 , 8 15 8 2 , ò 3 , 8, stiano sulla conica unita C 2 , ogni raggio per d L 

 (per d-t) taglia la C~ nello stesso punto in cui la taglia la cubica corrispondente del 

 fascio (1) (del fascio (2)]. 



La d , d 2 considerata come appartenente all' uno e all' altro dei due fasci , viene mu- 

 tata nella o i § 2 . 



24. — Invertendo le considerazioni fatte, prendiamo sopra una conica C 2 del piano i 

 punti d t , d 2 , 8 t , S 2 , 83 , 8 4 e fuori i punti 8 5 , 8 6 . Consideriamo il fascio di raggi di centro di 

 ed il fascio di cubiche (V <i 2 0., o ( 0. 8 6 ) : chiamando omologhe una retta del primo fascio 

 ed una cubica del secondo che taglino la C 3 in uno stesso punto , viene stabilita tra i 

 due fasci una corrispondenza proiettiva. Lo stesso dicasi per il fascio di raggi di centro d, 

 ed il fascio di cubiche (2). 



Per un punto P x del piano passa un raggio per d l e uno per d, ; il punto P y co- 

 mune alle due cubiche dei fasci (l) e (2) che corrispondono a tali due raggi, possiamo 

 assumerlo come corrispondente di ì\, . 



E viceversa. 



Resta così stabilita fra i due piani una corrispondenza che è appunto la trasforma- 

 zione cremoniana del quinto ordine richiesta. Infatti se un punto P, si muove sopra una 

 retta r, il punto P y corrispondente genera un luogo del sesto ordine passante con tre 

 rami pei- o, , 0., e con due rami per i rimanenti punti fondamentali. Si osservi però che 

 al raggio di d 2 che fa parte di ciascuno dei due fasci di raggi , e che incontra ciascuna 

 retta, corrisponde la congiungente v,, la quale viene a staccarsi dal luogo del sesto or- 

 dine. Come curva che corrisponde alla retta r resta quindi una quintica passante con due 

 rami per ciascun punto fondamentale. 



La conica C 2 risulta unita. 



25. — Trasformazione del quarto ordine con tre punti fondamentali doppi e tre 

 semplici. 



Supposto che esista , in essa la rete delle curve isologiche ha due punti base doppi 

 in due punti fondamentali doppi del proprio piano, e tre punti base semplici nel rimanente 



