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fissa R osar j a Abbia 



I Memoria III.] 



punto fondamentale doppio ed in due semplici. Sicché la curva unita è una retta pas- 

 sante per un punto fondamentale doppio ed uno semplice di ciascun piano. 



Per la costruzione si prenda una retta g del piano, e sette punti d 2 , d 3 , S 1? 8 2 , 5 3 , e 2 , e 3 

 dei quali 3 3 stia su g, i rimanenti abbiano posizione arbitraria. Chiamiamo Sj il punto in 

 cui la g incontra la congiungente d 2 d 3 . 



Riferiamo il fascio di rette di centro d> proiettivamente al fascio di coniche (§, 3 2 3 3 e 2 ) 

 considerando come omologhe quella retta del 1° fascio e quella conica del 2° che passano 

 per uno stesso punto di g. 



Analogo riferimento suppongasi stabilito tra il fascio di rette di centro d 3 ed il fascio 

 di coniche (5, o 2 3 ;i s 3 ). 



Allora si può coordinare ad ogni punto P r del piano , 1' ulteriore intersezione delle 

 coniche dei due fasci, che nelle proiettività stabilite, corrispondono alle rette d 2 P, d 3 P. E 

 se un punto P x si muove sopra una retta r il corrispondente P y genera un luogo del 

 4° ordine passante per o, 2 , o,, 2 , o 3 2 , s., , s 3 . Inoltre passerà per s, che è il corrispondente 

 del punto comune ad /' ed a d x d 2 . 



La retta d :t z { è unita. 



26. - - Passiamo ora alla trasformazione del quinto grado con un punto fondamen- 

 tale triplo, tre doppi e tre semplici, nella quale la rete delle curve isologiche ha tre punti 

 base doppi nel punto fondamentale triplo e in due punti fondamentali doppi del suo piano 

 e un punto base semplice nel rimanente punto fondamentale doppio. La curva unita è 

 quindi una conica passante per il punto fondamentale triplo , per il punto dop- 

 pio (base semplice per la rete di curve isologiche) e per i tre semplici. 



Per questa trasformazione, supposto che esista, il fascio di raggi avente il centro in 

 un punto fondamentale doppio di E M viene mutato in E y in un fascio di cubiche con un 

 punto base doppio nel punto fondamentale triplo , e cinque semplici nei tre punti fonda- 

 mentali doppi e in due semplici. 



Similmente il fascio di raggi avente il centro in un punto fondamentale semplice 

 viene mutato in un fascio di quartiche con tre punti base doppi nel punto fondamentale 

 triplo dell' altro piano e in due doppi , e quattro punti base semplici nel rimanente punto 

 fondamentale doppio e nei tre semplici. 



Se e 5 :i sono i punti fondamentali doppi dei due piani, che stanno sulla conica 

 unita C 2 , lasciando ferme le notazioni dei casi precedenti, possiamo pensare che il fascio 

 di raggi di centro d : . viene mutato nel fascio di cubiche (x 2 3, o 2 3 :i s, s 2 ). 



Inoltre chiamando il punto fondamentale di E , che corrisponde alla retta fonda- 

 mentale T§ 1? possiamo dire che il fascio di raggi di centro e x viene mutato nel fascio di 

 quartiche (x 2 3, o.>- § 3 2 s, s 2 s 3 ). Ogni retta del fascio d :i (o del fascio e t ) taglia la conica 

 unita C 2 nello stesso punto in cui la taglia la cubica (o la quartica) corrispondente. 



27. — Invertiamo adesso le considerazioni fatte, e dimostriamo l'esistenza della tra- 

 sformazione dandone nello stesso tempo la costruzione. 



A tal uopo scegliamo sopra una conica C 2 del piano sette punti x, S 3 , ì, , s 2 , e 3 ,d 3 ,ei, 

 e fuori di essa i punti 



Consideriamo il fascio di raggi di centro d :i (o il fascio di centro e { ), ed il fascio di 

 cubiche (t 2 o l o ; <5 3 s 2 ) [o il fascio di quartiche (t 2 ò 1 o., 2 o : , 2 e 2 £ 3 ) ), chiamando omologhe 

 una retta del fascio d L (o del fascio di e { ) ed una cubica del fascio (t 2 o 1 o., o 3 s, s 2 ) [o una 

 quartica del fascio (x* 3 t o 2 2 ò. t 2 z L s 2 s 3 ) | che tagliano in uno stesso punto mobile la conica 



