Memoria IX. 



Delle varietà algebriche con infinite V 2 . 

 Nota di GIUSEPPE MARLETTA 



In questa Nota , mediante la rappresentazione delle iperquadriche FJLj dell' S,, nei 

 punti dell' S v , ove è v = ' |; t si assegnano alcune proprietà delle varietà algebriche 

 ad r dimensioni, dotate di oc 1 V';._\ . 



I risultati ottenuti vengono applicati alle varietà algebriche ad r -j- 1 dimensioni, do- 

 tate di oo 2 V%-i , e ciò con un procedimento che assai facilmente si potrebbe estendere 

 al caso generale delle varietà algebriche ad r -\~ l — 1 dimensioni, dotate di ce' V'l_ x . 



§ 1. 



1. Sia r una varietà algebrica irriducibile ad r dimensioni, immersa nell' S h , d'or- 

 dine n 4 e dotata di infinite V r -\ generalmente non specializzate; queste, quindi i 1 ) , 

 costituiranno un fascio (k). 



Indicheremo con ^ la varietà , ad /' -f- l dimensioni , costituita dagli spazi S,. delle 

 varietà k ; con jj. l'ordine di e con s il numero delle k esistenti in uno generico degli 

 S r generatori di S ( 2 ). 



2. Proiettando genericamente il fascio (k) da un S h _ r _ y in un S r = S , si ottiene un 

 sistema {k') di oc 1 iperquadriche (generalmente non specializzate) di 2, d'indice u, per il 

 quale sistema è elemento s-plo ognuno dei [i S,._i (doppi) tracce in 2 dei [J- spazi S r , 

 generatori di ^ incidenti 1' S A _^_i centro di proiezione. Anzi se O è un punto generico 

 di uno A di questi jj. spazi S,._ x , delle // iperquadriche k' passanti per D, 2s (e non più) 

 coincidono con lo spazio (doppio) A stesso. 



Si noti , inoltre , che per la genericità della fatta proiezione , il sistema (k') non ha 

 alcun elemento (multiplo) proiezione di più varietà k non giacenti in uno stesso S,.. Ne 



(') È noto essere un fascio ogni sistema (necessariamente) ca 1 irriducibile di coniche (generalmente irri- 

 ducibili) esistente sopra una superficie algebrica d'ordine u ^> 4 . 



G. CASTELNUOVO e F. ENRIQUES, Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie 

 algebriche [Annali di Matematica, serie III, voi. VI (1901), pp. 165-225], n. 17; e 



M. DE FRANCHIS, Le superficie irrazionali di j° ordine con infinite coniche [Rendiconti della R. Ac- 

 cademia dei Lincei, serie V, voi. XV. 2 semestre 1906. pp. 284-286] n. 1. 



Ora si noti che le V' l r-\ di T non sono crJ con l ^> 1. giacché altrimenti, come facilmente si dimostra, 

 un Sn—ri-2 generico dovrebbe secare T in una superficie costituita da quadriche , ciò che è assurdo. È poi 

 evidente che (k) è un fascio. 



( 2 ) Per h—r-\-i 2 coincide con I' S)i . ambiente, contato \>- volte, cioè 2 è l'inviluppo, di classe \l, co- 

 stituito dagli spazi S r delle V' 2 -,— \ del fascio (/■)• 



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