4 Nota di Giuseppe Mariella [Memoria IX.] 



§ 2. 



8. Sia r una varietà algebrica irriducibile ad r-'-l — 1 dimensioni, immersa neh"S ft , 

 e dotata di un sistema (k) ce- 1 di V)._\ generalmente non specializzate. 



Dati alcuni numeri caratteristici di T e (k), si considerino tutte le varietà di que- 

 sto sistema incidenti un dato S/ w ._j +2 ; esse generano una varietà f , ad /' dimensioni , 

 dotata di co 1 F*_i . 



Applicando a f i risultati ottenuti nel § precedente , si trova qualche relazione fra i 

 detti numeri caratteristici, e, inoltre, l'ordine della varietà, ad r -\- l — 2 dimensioni, ge- 

 nerata dagli co'" 1 ,S -coni del sistema (k). 



Nei n.i seguenti svilupperemo, come esempio, nell' ipotesi di / = 1! quanto ora ab- 

 biamo soltanto accennato. 



9. Sia , dunque , T una varietà algebrica irriducibile ad r -j- L dimensioni , immersa 

 nell'S/,, e dotata di un sistema ce 2 (k) di V~ r _ x generalmente non specializzate. 



Indicheremo con ni il numero di queste incidenti un S /,_,,_, generico ( u ); con n il 

 numero delle k ognuna delle quali incontra in punti distinti due generici S h _ r aventi un 

 Sh-r-i comune. Indichi inoltre ja il numero delle varietà di {k) ognuna delle quali ha due 

 punti in un S,,_,. generico. 



Tutte le co 1 varietà di (k) incidenti un dato S' h _ r , generano una varietà f, ad r di- 

 mensioni, d'ordine m -\- n . 



Gli spazi S,. di queste varietà generano, poi, una varietà 11 , ad r -]- 1 dimensioni, 

 d'ordine 2\i--\-m. Infatti le k i cui spazi S,. incontrano un dato S' h _ r _.i, generano una 

 varietà, ad r dimensioni, con co' Vr-i, passante per gii /// punti (distinti o no) tracce 

 di k in S'/i_,._i , e tale che un S,,_,. condotto genericamente per questo 1' incontra ulterior- 

 mente in 2|A punti. Ne segue che esistono 2|a -}- /;/ varietà k ognuna incidente S' 7l _ r , e 

 il cui spazio S r incontra S' /( _,._i ; cioè ^ è d'ordine 2|x -f- m . 



10. Ed ora si applichi a -,' (n.° 9) il teorema del n.° 6, supponendo che il sistema {k) 

 abbia sue varietà ognuna costituita da un S,._, doppio , le quali generino una varietà ad 

 >■ dimensioni d'ordine o' > 0. 



Si conclude che 



il sistema (k) possiede co 1 S -coni che generano una varietà , ad r dimensioni , 

 d'ordine 



n {r -j- 1) — /// {r — 1) — 4jj./- — 'Irò' . 



11. a) Per r = 2 e h—3 si deduce che data nello spazio ordinario una congruenza 

 di coniche d' ordine m , tale che delle sue coniche ne esistano ;/ incidenti in punti di- 

 stinti due date rette generiche complanari ; |i aventi per corda una retta generica data ; 

 e dotata, inoltre, di una rigata d'ordine Ò' > di rette doppie, allora le rimanenti ce 1 co- 

 niche degeneri di essa congruenza generano una rigata d'ordine 



3n — ;// — 8|a — 48'. 



( u ) Per h = r -f- i m indica, dunque, quante sono le varietà del sistema [k] passanti per un punto ge- 

 nerico di 5/i , cioè indica l'ordine della congruenza (k). 



